Matematyka.pl

Dwaj rowerzyści codziennie pokonują ten sam odcinek między punktami A i B w przeciwne strony (pierwszy od A do B, drugi od B do A). Droga od A do B biegnie stale pod górę. Pierwszy przybywa do A w chwili \(\displaystyle{ t_{1} }\)drugi do B w chwili \(\displaystyle{ t_{2} }\), przy czym obie chwile są wybrane losowo z przednialu \(\displaystyle{ \left[ T_p ; T_k \right] }\), gdzie \(\displaystyle{ Tp= 8:15, T_k=8:45}\). Zakładamy, że prawdopodobieństwo wybrania danej chwili jest rozlozone równomiernie na całym przedziale. Czas przejazdu wspólnego odcinka pod góre jest dla obu rowerzystów taki sam i wynosi 10 minut, czas przejazdu w dół jest również taki sam i wynosi 5 minut. Oblicz prawdopodobieństwo spotkania rowerzystów

Zakładam, że chodzi o ich spotkanie na odcinku między A a B.
x - czas gdy jeden z rowerzystów przybywa do A (i będzie jechał do B)
y - czas gdy drugi z rowerzystów przybywa do B (i będzie jechał do A)
Skoro \(\displaystyle{ (8 \frac{1}{4} \le x \le 8 \frac{3}{4}) \ \ \wedge \ \ (8 \frac{1}{4} \le y \le 8 \frac{3}{4})}\) to zbiorem możliwych zdarzeń w układzie XOY jest kwadrat o polu \(\displaystyle{ 0,25}\).
Zdarzenia sprzyjające występuje gdy cyklista przybywa do B nie wcześniej niż 5 minut przed przyjazdem drugiego rowerzysty do A oraz nie później niż 10 minut po tym.
Daje to układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y< \frac{1}{12} \\ y-x<\frac{1}{6} \end{cases} }\)
Pole powyższego pasa zawarte w możliwym kwadracie to \(\displaystyle{ \frac{31}{288} }\) , a stąd i szukane prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P= \frac{ \frac{31}{288} }{ \frac{1}{4} }= \frac{31}{72} }\)