Matematyka.pl

Prawdopodobieństwo awarii aparatury doświadczalnej w jednym doświadczeniu
wynosi 0.02. Doświadczenie można przeprowadzić dowolną liczbę razy. Zakładając, że doświadczenia powtarzamy niezależnie, obliczyć prawdopodobieństwo, że druga z kolei awaria
a) zdarzy się dokładnie w dziesiątym doświadczeniu,
b) zdarzy się najpóźniej w dziesiątym doświadczeniu,
c) nie zdarzy się w pierwszych dziesięciu doświadczeniach

Proszę o pomoc nwm jak się za to zabrać.

bernoulli

Ale jak dokładnie miałoby to wyglądać?

Jeśli przyjmiemy za \(\displaystyle{ X }\) zmienną losową oznaczającą liczbę doświadczeń przeprowadzanych do uzyskania drugie awarii, to zmienna losowa \(\displaystyle{ X }\) ma ujemny rozkład dwumianowy:

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{ND}( 2; 0,02):}\)

\(\displaystyle{ p(x) = {x-1\choose x-2} 0,02^2\cdot ( 1- 0,02)^{x-2} = {x-1\choose x-2} 0,02^2 \cdot 0,98^{x-2}.}\)

a)
\(\displaystyle{ p(10) = {10 -1\choose 10 -2} 0,02^{2}\cdot 0,98^8 = {9\choose 8} 0,02^2 \cdot 0,98^8 = \ \ ... }\)

b)
\(\displaystyle{ P(\{ 2 \leq X \leq 10\}) = \sum_{x=2}^{10} (x-1) p^2 (1-p)^{x-2} = p^2\sum_{x=2}^{10}(x-1)(1-p)^{x-2} = p^2\sum_{x=1}^{9}x (1-p)^{x-1} = p^2 \sum_{x=1}^{9} \frac{d}{d(p-1)} (1-p)^{x} =}\)

\(\displaystyle{ = p^2 \frac{d}{d(1-p)}\sum_{x=1}^{9}(1-p)^{x} = p^2 \frac{d}{d(1-p)}\left((1-p) \frac{1 -(1-p)^{9}}{1-(1-p)}\right) = p^2 \frac{d}{dq} \left(q\frac{1-q^9}{1-q}\right) =p^2 \frac{1-10 q^9 + 9q^{10}}{(1-q)^2} = (1-q)^2\frac{1-10q^9 +9q^{10}}{(1-q)^2} =}\)

\(\displaystyle{ = 1 -10q^9+9q^{10} = 1 - q^9(10-9q) = 1 - (1-p)^9[ 10 -9(1-p)] = 1 -(1-p)^9 (1+9p). }\)

Dla \(\displaystyle{ p =0,02: }\)

\(\displaystyle{ P(\{ 2 \leq X \leq 10\}) = 1 - (1-0,02)^9(1+ 9\cdot 0,02) = \ \ ... }\)

c)
\(\displaystyle{ P(\{ X\geq 11\}) = 1 - P(\{ 2 \leq X \leq 10\}) = \ \ ...}\)