Matematyka.pl

Udowodnić, że istnieje nieskończona ilość liczb naturalnych, takich, że zamieniając w nich jedną dowolną cyfrę (na dowolną inną) nie daje to liczby pierwszej.
taką jest np. \(\displaystyle{ n=320}\),
a nie jest np. \(\displaystyle{ n=160}\); itd.

Każda liczba postaci \(\displaystyle{ n!+10}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 19}\) posiada żądaną własność.

Dowód: łatwo zauważyć, że każda z liczb: \(\displaystyle{ n!+10,\ldots, n!+19}\) jest dla \(\displaystyle{ n \ge 19}\) liczbą złożoną (co oznacza, że zamiana cyfry jedności w liczbie \(\displaystyle{ n!+10}\) na dowolną inną da nam również liczbę złożoną). Ponieważ \(\displaystyle{ n!+10}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 19}\) dzieli się przez 10, to zamiana dowolnej cyfry tej liczby innej niż cyfra jedności na dowolną inną również da w efekcie liczbę podzielną przez 10, a więc liczbę złożoną.