Lewą dziedzinę relacji
\(\displaystyle{ R}\) ze zbioru
\(\displaystyle{ X}\) w zbiór
\(\displaystyle{ Y}\) będę oznaczał jako
\(\displaystyle{ R_L}\).
I tak, dla relacji
\(\displaystyle{ S}\) i
\(\displaystyle{ T}\) ze zbioru
\(\displaystyle{ X}\) w zbiór
\(\displaystyle{ Y}\):
Jeśli
\(\displaystyle{ x \in \left( S \cup T\right) _{L}}\), to
\(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in S \cup T}\), gdzie
\(\displaystyle{ y \in Y}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in S}\) lub
\(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in T.}\) Jeśli
\(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in S}\), to
\(\displaystyle{ x \in S_L}\), a więc tym bardziej
\(\displaystyle{ x \in S_L \cup T_L}\). A jeśli
\(\displaystyle{ \left( x,y\right)\not\in S}\), to musi być
\(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in T}\), skąd
\(\displaystyle{ x \in T_L}\), a więc tym bardziej
\(\displaystyle{ x \in S_L \cup T_L}\), co dowodzi inkluzji w prawą stronę.
Jeśli
\(\displaystyle{ x \in S_L}\), to
\(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in S}\), gdzie
\(\displaystyle{ y \in Y}\). Wtedy tym bardziej
\(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in S\cup T}\), skąd
\(\displaystyle{ x \in \left( S \cup T\right)_L. }\)
Analogicznie rozumujemy, gdy
\(\displaystyle{ x \in T_L}\), co kończy dowód tego faktu.
\(\displaystyle{ \square}\)
Zadanie:
Uogólnij to prawo na dowolną skończoną ilość relacji
\(\displaystyle{ R_1, R_2, \ldots, R_n}\) ze zbioru
\(\displaystyle{ X}\) w zbiór
\(\displaystyle{ Y}\), tzn. wykaż prawo tych relacji:
\(\displaystyle{ \left( R_1 \cup R_2 \cup \ldots \cup R_n \right) _{L}= \left( R_1\right) _{L} \cup \left( R_2\right)_L \cup \ldots \cup \left( R_n\right) _{L};}\)
tzn. lewa dziedzina sumy tych
\(\displaystyle{ n}\) relacji jest równa sumie ich lewych dziedzin.
Wskazówka:
Użyj indukcji matematycznej, poprzez indukcje ze względu na ilość relacji.
I dalej, wykaż prawo relacji
\(\displaystyle{ R_1, R_2,\ldots,R_n}\), ze zbioru
\(\displaystyle{ X}\) w zbiór
\(\displaystyle{ Y}\):
\(\displaystyle{ \left( R_1 \cup R_2 \cup \ldots \cup R_n\right) _P= \left( R_1\right) _P \cup \left( R_2\right) _{P} \cup \ldots \cup \left( R_n\right)_P. }\)
Tzn. prawa dziedzina sumy tych
\(\displaystyle{ n}\) relacji jest sumą ich prawych dziedzin.
Wskazówka:
Użyj prawa relacji (chyba mojego ulubionego):
\(\displaystyle{ \left( R ^{-1} \right) ^{-1}=R}\),
oraz użyj prawa relacji:
\(\displaystyle{ \left( R_1 \cup R_2 \cup \ldots \cup R_n\right) ^{-1}=\left( R_1\right) ^{-1} \cup \left( R_2\right) ^{-1} \cup \ldots \cup \left( R_n\right) ^{-1},}\)
które to prawo mówi, że relacja odwrotna do sumy
\(\displaystyle{ n}\) relacji jest sumą relacji odwrotnych, oraz użyj prawa mówiącego, że lewa dziedzina relacji odwrotnej jest równa prawej dziedzinie relacji danej, i na odwrót;
-i stąd łatwo wynika to prawo.
