Suma z ctg
: 28 paź 2023, o 19:41
Zwinąć sumę \(\displaystyle{ \ctg^2 \left( \frac{\pi}{2m+1} \right) + \ctg^2 \left( \frac{2\pi}{2m+1} \right)+...+ \ctg^2 \left( \frac{m\pi}{2m+1} \right)}\).
Jest wzór:
\(\displaystyle{ \frac{\sin(nx)}{\sin^nx} = {n \choose 1} \ctg^{n-1}x- {n \choose 3} \ctg^{n-3}x \pm ... }\)
Teraz podstawmy:
\(\displaystyle{ n=2m+1, x_{k}= \frac{k\pi}{2m+1} }\)
Otrzymamy:
\(\displaystyle{ 0= {2m+1 \choose 1} \ctg^{2m}x_{k}-{2m+1 \choose 3} \ctg^{2m-2}x_{k}+...+(-1)^m {2m+1 \choose 2m+1} }\)
lub:
\(\displaystyle{ 0= {2m+1 \choose 1} \left( \ctg^{2}x_{k}\right)^m -{2m+1 \choose 3}\left( \ctg^{2}x_{k}\right)^{m-1} +...+(-1)^m {2m+1 \choose 2m+1} }\)
Liczby:
\(\displaystyle{ \ctg^{2}x_{k}, k=1,2,3,...,m}\) - są jak widać pierwiastkami wielomianu, są parami różne:
\(\displaystyle{ 0= {2m+1 \choose 1}t^m-{2m+1 \choose 3}t^{m-1} +...+(-1)^m {2m+1 \choose 2m+1} }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ t_{k}=\ctg^{2}x_{k}=\ctg^{2} \left( \frac{k\pi}{2m+1}\right) }\)
Ze wzorów Viete'a otrzymamy:
\(\displaystyle{ \ctg^{2} \left( \frac{1\pi}{2m+1}\right) +\ctg^{2} \left( \frac{2\pi}{2m+1}\right)+...+\ctg^{2} \left( \frac{k\pi}{2m+1}\right)= \frac{{2m+1 \choose 3}}{{2m+1 \choose 1}} = \frac{m(2m-1)}{3} }\)