Matematyka.pl

Mamy równanie:

\(\displaystyle{ x^2+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2=8}\)

I tutaj pojawia się pytanie, czy takich równań nie robiło się przypadkiem sprytnie po przez podstawienie? Ewentualnie jak rozłożyć najszybciej/najsprytniej poniższy wielomian na czynniki:

\(\displaystyle{ W(x)=x^4+2x^3-6x^2-16x-8}\)

?

41421356 pisze: ↑28 paź 2023, o 14:00 Ewentualnie jak rozłożyć najszybciej/najsprytniej poniższy wielomian na czynniki:
\(\displaystyle{ W(x)=x^4+2x^3-6x^2-16x-8}\)

Można poszukać pierwiastków całkowitych będących dzielnikami wyrazu wolnego (standardowa metoda). Prędzej czy później okaże się, że \(\displaystyle{ -2}\) to pierwiastek (nawet podwójny). I rozkład gotowy.

Ok, takie rozwiązanie już mam. Tylko jak inaczej w miarę bezboleśnie rozłożyć ten wielomian na czynniki?

A to boli? Spytaj Wolframa

\(\displaystyle{ W(x) = x^4 +2x^3 -6x^2-16x -8. }\)

\(\displaystyle{ W(-2) = 0. }\)

Stosując Twierdzenie Bezout'a i na przykład Schemat Hornera:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
& 1 & 2 &-6 & -16 & -8 \\ \hline
-2 & 1 & 0 & -6 & -4 & 0 \\ \hline
\end{tabular} }\)

\(\displaystyle{ W(x) = (x+2)(x^3 +0x^2 -6x -4) = (x+2)\cdot P(x), }\)

\(\displaystyle{ P(x) = x^3 -6x -4. }\)

\(\displaystyle{ P(-2) = 0. }\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline
& 1 & 0 &-6 & -4 \\ \hline
-2 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ \hline
\end{tabular} }\)

\(\displaystyle{ P(x) = (x+2)( x^2 -2x -2) = (x+2)\cdot Q(x),}\)

\(\displaystyle{ Q(x) = x^2 -2x -2. }\)

\(\displaystyle{ \Delta = 12, \ \ \sqrt{\Delta} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.}\)

\(\displaystyle{ x_{1} = 1 - \sqrt{3}, \ \ x_{2} = 1 +\sqrt{3}.}\)

\(\displaystyle{ Q(x) = x^2 -2x -2 = (x - 1 +\sqrt{3})(x -1-\sqrt{3}). }\)

\(\displaystyle{ W(x) = (x+2)(x+2) (x - 1 +\sqrt{3})(x -1-\sqrt{3}) = (x+2)^2 (x - 1 +\sqrt{3})(x -1-\sqrt{3}). }\)

Ja bym rozstrzygnął tak:
\[x^2+\left(\frac{x}{x+1}\right)^2=8\\
\left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2+2x\cdot\frac{x}{x+1}-8=0\\
\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2+2\cdot\frac{x^2}{x+1}-8=0\]
Pozdrawiam

Genialne! Dokładnie o coś tego typu mi chodziło.