Matematyka.pl

Jakie są rozwiązania układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab-2cd=3 \\ ac+bd =1 \end{cases}}\)
w zbiorze liczb całkowitych

Znalazłem takie i wiem, że to nie jest rozwiązanie zadania

1) \(\displaystyle{ a=-3}\), \(\displaystyle{ b=-1}\), \(\displaystyle{ c=0}\), \(\displaystyle{ d=-1}\)
2)\(\displaystyle{ a=-1}\), \(\displaystyle{ b=-3}\), \(\displaystyle{ c=-1}\), \(\displaystyle{ d=0}\)
3)\(\displaystyle{ a=1}\), \(\displaystyle{ b=3}\), \(\displaystyle{ c=1}\), \(\displaystyle{ d=0}\)
4) \(\displaystyle{ a=3}\), \(\displaystyle{ b=1}\), \(\displaystyle{ c=0}\), \(\displaystyle{ d=1}\)

Czemu nie jest to rozwiązaniem zadania skoro zakładam, że spełniają rozwiązanie (choć tego nie sprawdziłem)...

Nie wykazałem braku innych rozwiązań.

wsk.: w elipsie jest skończenie wiele rozwiązań całkowitych

Znalazłem takie

Jakąś metodą

Założyłem intuicyjnie, że jedna z liczb zawsze musi być \(\displaystyle{ 0}\).
Dalej to kombinowanie z \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ -1}\), \(\displaystyle{ 3}\), \(\displaystyle{ -3}\).

wystarczy rozwiązać układ dwóch równań z czterema niewiadomymi a po drodze pojawi się elipsa...

Albo zapisać układ jako

\(\displaystyle{ (a+d\sqrt{-2})(b+c\sqrt{-2}) = 3 + \sqrt{-2}}\)

i nałożyć kwadrat modułu na obie strony.