Matematyka.pl

Na wstępie przepraszam za ewentualny trywializm w zapytaniu oraz z góry dziekuję za pomoc i wyrozumiałość.

Pytanie:
Czy możliwe jest odwzorowanie zbioru liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\) na zbiór liczb pierwszych \(\displaystyle{ P}\), w postaci jeden do jeden?

W przypadku działań elementarnych a szczególnie w przypadku mnożenia jest to niemożliwe do realizacji.
A co z innymi możliwymi funkcjami opisującymi wspólnie oba te zbiory.
Jak to sprawdzić i jak uzasadnić, gdyby taki związek istniał. Jaką obrać metodologię postępowania w celu dowodzenia.

Dla przykładu mam jakąś hipotetyczną funkcję \(\displaystyle{ f(n \in \NN)}\) opisujacą zbiór liczb \(\displaystyle{ \NN}\).
W jaki sposób mogę sprawdzić czy podana funkcja \(\displaystyle{ f(n)}\), również opisuje zbiór liczb pierwszych \(\displaystyle{ P}\).

Odwzorowanie
zbioru \(\displaystyle{ \NN}\) na zbiór \(\displaystyle{ P}\),
jeden do jeden
dla \(\displaystyle{ f(n \in \NN) = f(p \in P)}\)

N - P
1- 2
2- 3
3- 5
4- 7
5-11
6-13
7-17
8-19
9-23
10-29

wnetzrobione pisze: 21 paź 2023, o 00:00 Czy możliwe jest odwzorowanie zbioru liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\) na zbiór liczb pierwszych \(\displaystyle{ P}\), w postaci jeden do jeden?

Tak.

wnetzrobione pisze: 21 paź 2023, o 00:00 W przypadku działań elementarnych a szczególnie w przypadku mnożenia jest to niemożliwe do realizacji.

Ale co "jest niemożliwe do realizacji"?

wnetzrobione pisze: 21 paź 2023, o 00:00A co z innymi możliwymi funkcjami opisującymi wspólnie oba te zbiory.

Co to znaczy, że funkcja "wspólnie opisuje oba zbiory"?

wnetzrobione pisze: 21 paź 2023, o 00:00Dla przykładu mam jakąś hipotetyczną funkcję \(\displaystyle{ f(n \in \NN)}\) opisujacą zbiór liczb \(\displaystyle{ \NN}\).

A co to miałoby znaczyć?

JK

Metoda jest dokładnie taka, jaką zaproponowałeś: kolejnym liczbom naturalnym przypisujemy kolejne liczby pierwsze. Jest to poprawne podejście, gdyż zbiór liczb pierwszych jest nieskończony, a zatem:
Przypuśćmy, że dla liczb od \(\displaystyle{ 1,2}\) do \(\displaystyle{ n}\) ustawiliśmy początkowe liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_1, p_2, \ldots, p_n. }\) Ponieważ zbiór liczb pierwszych jest nieskończony, to istnieją inne liczby pierwsze ( w przeciwnym razie zbiór liczb pierwszych byłby równy \(\displaystyle{ \PP=\left\{ p _{1},p _{2}, \ldots, p _{n} \right\}}\), a więc byłby zbiorem skończonym- sprzeczność). Ponieważ ustawiliśmy początkowe liczby pierwsze, to te pozostałe liczby pierwsze muszą być większe od ostatniej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p _{n}.}\) A zatem, na mocy zasady minimum, istnieje najmniejsza liczba pierwsza w tym zbiorze. Ponieważ element najmniejszy jest tylko jeden, to otrzymujemy dobrze określony element \(\displaystyle{ p _{n+1} \in \PP; }\) i, na mocy twierdzenia o definiowaniu przez indukcje, otrzymujemy ciąg: \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \PP}\). Taka funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją\(\displaystyle{ .\square}\)

Jakub Gurak pisze: 21 paź 2023, o 11:01 Metoda jest dokładnie taka, jaką zaproponowałeś: kolejnym liczbom naturalnym przypisujemy kolejne liczby pierwsze. Jest to poprawne podejście, gdyż zbiór liczb pierwszych jest nieskończony, a zatem:
... Taka funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją\(\displaystyle{ .\square}\)

Dziękuję za wyjaśnienie.

W rozwinięciu tego pytania, zastanawiam się na kilkoma opcjami, które jeszcze nie do końca rozumiem lub nie mogę ich połączyć w całość.

#1 Czy wiedząc, że możemy przypisać każdemu elementowi ze zbioru \(\displaystyle{ \NN}\) elementy ze zbioru \(\displaystyle{ P}\), to istnieje funkcja arytmetyczna \(\displaystyle{ f(x)}\), której argumentami są elementy zbioru \(\displaystyle{ \NN}\) a wynikiem są elementy zbioru \(\displaystyle{ P}\)?

#2 Czy istnieje taka funkcja arytmetyczna \(\displaystyle{ g(x)}\), która działając na zbiorze \(\displaystyle{ \NN}\), jako jej argumenty, w rezultacie otrzymamy elementy zbioru \(\displaystyle{ \NN}\), oraz czy stosując tą samą funkcję \(\displaystyle{ g(x)}\) na zbiorze \(\displaystyle{ P}\), jako jej argumenty otrzymamy w rezultacie elementy zbioru \(\displaystyle{ P}\).

\(\displaystyle{ g(x) = f(x \in \NN) = n \in \NN}\)
\(\displaystyle{ g(x) = f(x \in P) = p \in P}\)

Co rozumiesz przez "funkcję arytmetyczną"?

Mam wrażenie, że nie rozumiesz o co pytasz. Ja zresztą też. Odpowiedź na #2 brzmi TAK, taką funkcją jest funkcja identycznościowa.

Dasio11 pisze: 22 paź 2023, o 12:12 Co rozumiesz przez "funkcję arytmetyczną"?

Patrząc na definicję, arytmetyka elementarna opisuje podstawowe działania na liczbach, zwłaszcza tych rzeczywistych, choć mówi się także o arytmetyce liczb kardynalnych czy porządkowych; działania uznawane za arytmetyczne to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie , a czasem też potęgowanie, pierwiastkowanie i logarytmy, W takim ujęciu patrzę na relację pomiędzy zbiorami N a zbiorem P.
Natomiast w uproszczeniu, nie mam tutaj na myśli działań związane z rozkładem losowym liczb, ich statystyką.

Dodano po 13 minutach 23 sekundach:

a4karo pisze: 22 paź 2023, o 12:31 Mam wrażenie, że nie rozumiesz o co pytasz. Ja zresztą też. Odpowiedź na #2 brzmi TAK, taką funkcją jest funkcja identycznościowa.

Szukam merytorycznej odpowiedzi na moje pytanie, na tym forum.
Czy możesz podać jakiś przykład dla takiej funkcji identyczności występującej dla zbioru N i P.
Ponieważ sama definicja jest dla mnie zbyt ogólna, nie do końca mogę ją zrozumieć.
Czy uda się znaleźć jakiś przykład z zastosowaniem liczb na ww. zbiorach.

Dziękuję

Cóż, żeby dostać merytoryczną odpowiedz, najpierw trzeba zadać dobrze sformułowane pytania. Niestety mam wrażenie, że nikt nie wie o co Ci chodzi.
Po prostu używasz nieprecyzyjnego języka i sformułowań, które nie mają w świecie matematyki określonego znaczenia.

Na tą chwilę nie umiem inaczej zadać pytania, jak to które już zadałem, chociaż uważam, że jest ono dość czytelne.
Rozumiem, że dalej już więcej się nie dowiem odnośnie relacji, funkcji występujących pomiędzy dwoma zbiorami N i P i w tym wypadku pozostaje mi dalsze, samodzielne szukanie odpowiedzi.
Za okazaną dotychczasową pomoc i wsparcie ze strony tego forum, jeszcze raz DZIĘKUJĘ.

Postaram się dalej zgłębiać ten nie prosty, jak dla mnie obszar wiedzy matematycznej, ale na tyle interesujący mnie, że od dłuższego czasu zajmuję się nim, mimo moich ułomności w jego pojmowaniu.

Dziękuję i pozdrawiam Was.

wnetzrobione pisze: 22 paź 2023, o 13:25 Czy możesz podać jakiś przykład dla takiej funkcji identyczności występującej dla zbioru N i P.

Nie "funkcji identyczności", tylko funkcji identycznościowej, zadanej wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x.}\) Jest tylko jedna funkcja identycznościowa, więc ciężko mówić o "jakimś" przykładzie, poza tym jest to przykład trywialny.

JK

Podejrzewam, że pytającemu chodzi po prostu o jawny wzór przypisujący kolejnym liczbom naturalnym kolejne liczby pierwsze.

Raczej o jawny wzór, korzystający tylko z "działań arytmetycznych", który - wedle mojej wiedzy - nie jest znany.

Można też przeczytać to:

Tylko nie czytaj komentarzy pod tym artykułem.

Kol. Wnetzrobione w swym topic'u użył wielu słów, niepotrzebnie!
Zagadnienie można ująć jednym zdaniem, do niego się sprowadza:
Czy da się PONUMEROWAĆ kolejne L. pierwsze.

Odpowiedź jest dwojaka:
ich wybór, czyli zbiór SKOŃCZONY — jak najbardziej.
Lecz problem w tym, że jak wykazał Euklides — jest ich nieskończenie wiele.

Drążąc temat, ale idąc na skróty: o ile wiemy, jak wygląda kolejna L. naturalna, i nie mamy najmniejszych kłopotów, by mając jedną, wyznaczyć następną (wszak L. naturalne są pod tym względem wręcz wzorcowe, to nimi numerujemy więc inne obiekty!), to L. pierwsze wręcz przeciwnie:
— są modelowym przykładem kapryśności, i nieprzewidywalności. Nie ma ogólnej metody, działającej w nieskończoność, która dla danej L. pierwszej pozwoliłaby wyznaczyć jej następczynię. Acz stosuje się wtedy kombinacje RÓŻNYCH metod. Najczęściej jednak pozostaje brute force, czyli badanie kolejnych L. naturalnych, testowanie ich prymarności.

Wiadomo, że metod testowych jest dość dużo, laik mógłby więc pomyśleć: no, więc róbmy tak! Ha! To laik wszak.
Otóż zachodzi tu "delikatna" sprawa złożoności obliczeniowej. Laik myśląc o liczbach, ogranicza się do rachunków na kartce, czy kalkulatorze, co ma (potęga!) 12 cyfr. A tymczasem matematycy od teorii liczb interesują się rozkładem L. pierwszych w zakresach dla laika niewyobrażalnych! Nie kilka, lecz kilkadziesiąt... TYSIĘCY cyfr! Największa znaleziona para L. pierwszych tzw. "bliźniaczych" (różniących się o 2) ma cyfr tysięcy czterysta! Zaś największa znana L. Marsene'a ponad 25... milionów.

Dla porównania:
Liczba wszystkich atomów w obserwowalnym wszechświecie jest szacowana na \(\displaystyle{ 10^{91}}\), czyli by je ponumerować, to każdy atom musiałby mieć tabliczkę znamionową zawierającą raptem 91 cyfr dziesiętnych. Tak "małe" liczby ekscytacji matematyków bynajmniej nie wywołują...

Faktoryzowanie brute force (rozkład na składowe, czyli iloczyn L. pierwszych) wielgachnych, wielotysięcznie cyfrowych liczb — b. często przekracza możliwości superkomputerów, więc stosuje się różne triki. Jest literatura, można pogooglać, zaczynając od Wikipedii.