Nierówność z wartością bezwględną
: 19 paź 2023, o 12:13
Hej, mam problem z tą nierównością.
\(\displaystyle{ \frac{\left| \log\left( x+1\right) \right| }{ x^{2}-1 } \le \log\left( x+1 \right) ^ {2} }\)
Wg mnie powinno się to zrobić tak:
Dziedzina to \(\displaystyle{ x \in \left( -1; \infty \right) / \left\{ 1\right\} }\)
Wiedząc to, wiemy, że \(\displaystyle{ x ^{2} -1}\) jest zawsze dodatnie, więc możemy pomnożyć obie strony przez \(\displaystyle{ x ^{2} -1}\)
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ \left| \log\left( x+1\right) \right| \le 2\log\left( x+1 \right)\left( x^{2}-1\right) }\)
Rozważmy dwa przypadki:
1) \(\displaystyle{ x \in \left( -1;0\right) }\)
\(\displaystyle{ -\log\left( x+1\right) \le 2\log\left( x+1 \right)\left( x^{2}-1\right) }\)
W tym przedziale \(\displaystyle{ \log\left( x+1 \right)}\) jest ujemny, więc mamy:
\(\displaystyle{ -1 \ge 2x^{2}-2 \\
\left( x- \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \left( x+ \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \le 0 }\)
Więc zestawiąjąc rozwiązanie z przedziałem dla tego przypadku mamy \(\displaystyle{ x \in \left\langle- \frac{ \sqrt{2} }{2};0 \right) }\)
2) \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0; \infty \right) }\)
\(\displaystyle{ \log\left( x+1\right) \le 2\log\left( x+1 \right)\left( x^{2}-1\right) }\)
W tym przedziale \(\displaystyle{ \log\left( x+1 \right)}\) jest dodatni, więc mamy:
\(\displaystyle{ 1 \le 2x^{2}-2 \\
\left( x- \frac{ \sqrt{6} }{2} \right) \left( x+ \frac{ \sqrt{6} }{2} \right) \ge 0}\)
Więc zestawiąjąc rozwiązanie z przedziałem dla tego przypadku mamy \(\displaystyle{ x \in \left\langle \frac{ \sqrt{6} }{2}; \infty \right) }\)
Więc całościowe rozwiązanie to \(\displaystyle{ x \in \left\langle- \frac{ \sqrt{2} }{2};0 \right) \cup \left\langle \frac{ \sqrt{6} }{2}; \infty \right)}\)
W odpowiedzi za to jest podany taki przedział \(\displaystyle{ x \in \left( -1; -\frac{\sqrt{2} }{2} \right \rangle \cup \left\langle 0;1 \right) \cup \left\langle \frac{ \sqrt{6} }{2}; \infty \right) }\)
Co robię źle, no bo coś mi na pewno umyka...
\(\displaystyle{ \frac{\left| \log\left( x+1\right) \right| }{ x^{2}-1 } \le \log\left( x+1 \right) ^ {2} }\)
Wg mnie powinno się to zrobić tak:
Dziedzina to \(\displaystyle{ x \in \left( -1; \infty \right) / \left\{ 1\right\} }\)
Wiedząc to, wiemy, że \(\displaystyle{ x ^{2} -1}\) jest zawsze dodatnie, więc możemy pomnożyć obie strony przez \(\displaystyle{ x ^{2} -1}\)
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ \left| \log\left( x+1\right) \right| \le 2\log\left( x+1 \right)\left( x^{2}-1\right) }\)
Rozważmy dwa przypadki:
1) \(\displaystyle{ x \in \left( -1;0\right) }\)
\(\displaystyle{ -\log\left( x+1\right) \le 2\log\left( x+1 \right)\left( x^{2}-1\right) }\)
W tym przedziale \(\displaystyle{ \log\left( x+1 \right)}\) jest ujemny, więc mamy:
\(\displaystyle{ -1 \ge 2x^{2}-2 \\
\left( x- \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \left( x+ \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) \le 0 }\)
Więc zestawiąjąc rozwiązanie z przedziałem dla tego przypadku mamy \(\displaystyle{ x \in \left\langle- \frac{ \sqrt{2} }{2};0 \right) }\)
2) \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0; \infty \right) }\)
\(\displaystyle{ \log\left( x+1\right) \le 2\log\left( x+1 \right)\left( x^{2}-1\right) }\)
W tym przedziale \(\displaystyle{ \log\left( x+1 \right)}\) jest dodatni, więc mamy:
\(\displaystyle{ 1 \le 2x^{2}-2 \\
\left( x- \frac{ \sqrt{6} }{2} \right) \left( x+ \frac{ \sqrt{6} }{2} \right) \ge 0}\)
Więc zestawiąjąc rozwiązanie z przedziałem dla tego przypadku mamy \(\displaystyle{ x \in \left\langle \frac{ \sqrt{6} }{2}; \infty \right) }\)
Więc całościowe rozwiązanie to \(\displaystyle{ x \in \left\langle- \frac{ \sqrt{2} }{2};0 \right) \cup \left\langle \frac{ \sqrt{6} }{2}; \infty \right)}\)
W odpowiedzi za to jest podany taki przedział \(\displaystyle{ x \in \left( -1; -\frac{\sqrt{2} }{2} \right \rangle \cup \left\langle 0;1 \right) \cup \left\langle \frac{ \sqrt{6} }{2}; \infty \right) }\)
Co robię źle, no bo coś mi na pewno umyka...