Matematyka.pl

Funkcja Smarandache 'a \(\displaystyle{ S(n)}\) (najmniejsze \(\displaystyle{ m}\) takie, że \(\displaystyle{ n }\) dzieli \(\displaystyle{ m!}\))

Udowodnić, że szereg \(\displaystyle{ \frac{1}{S(n)} + \frac{1}{S(n^2)} + \frac{1}{S(n^3)} +... }\)
jest rozbieżny (dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\)).

\(\displaystyle{ n=p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot ... \cdot p_{r}^{\alpha_{r}}}\)

\(\displaystyle{ n^i=p_{1}^{i \alpha_{1}} \cdot ... \cdot p_{r}^{i \alpha_{r}}}\)

\(\displaystyle{ S(n^i)=\max\left\{ S(p_{1}^{i \alpha_{1}}),...,S(p_{r}^{i \alpha_{r}}) \right\} = S(p^{i\alpha}) \le i\alpha p}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{S(n^i)} \ge \frac{1}{i\alpha p} }\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{ \infty } \frac{1}{S(n^i)} \ge \frac{1}{\alpha p} \sum_{i=1}^{ \infty } \frac{1}{i} = \infty }\)

Matematyka.pl

Funkcja Smarandache 'a

Funkcja Smarandache 'a

Re: Funkcja Smarandache 'a