Prawdopodobieństwo kolejnych zdarzeń ciągiem

[Radkos]

Witam.
Mam problem który chciałbym rozwiązać lecz nie do końca wiem gdzie szukać informacji na ten temat
Załóżmy że prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ P(A_1)=0.1}\), jeżeli w próba zakończyła się porażką to \(\displaystyle{ P(A_{n+1})=P(A_n)+0.01}\), jeżeli próba zakończyła się sukcesem prawdopodobieństwo wraca do wartości początkowej. Chciałbym obliczyć wartość oczekiwaną po ilu próbach będzie sukces, oraz ile sukcesów będzie po \(\displaystyle{ n}\) rzutach.
Czy mogę w internecie znaleźć jakiś skrypt lub tłumaczenie takich zagadnień?
Pozdrawiam

[janusz47]

Trudno zrozumieć treść tego problemu.

Jaka jest oryginalna jego treść?

Proszę opisać na czym polega doświadczenie losowe (działanie) ?

Skąd pochodzi ten problem?

[matmatmm]

Załóżmy że prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ P(A_1)=0.1}\), jeżeli w próba zakończyła się porażką to \(\displaystyle{ P(A_{n+1})=P(A_n)+0.01}\), jeżeli próba zakończyła się sukcesem prawdopodobieństwo wraca do wartości początkowej. Chciałbym obliczyć wartość oczekiwaną po ilu próbach będzie sukces, oraz ile sukcesów będzie po \(\displaystyle{ n}\) rzutach.

Ten opis jest niefortunny (nieprzemyślane oznaczenia), ale te wartości oczekiwane da się policzyć. Mianowicie niech \(\displaystyle{ X}\) będzie ilością prób (zmienną losową) potrzebnych dla sukcesu. Wówczas

\(\displaystyle{ EX=\sum_{k=1}^{100}P(X=k)\cdot k=P(X=1)\cdot 1+P(X=2)\cdot 2+\dots+P(X=100)\cdot 100=}\)\(\displaystyle{ =\frac{1}{100}\cdot 1+\frac{99}{100}\cdot\frac{2}{100}\cdot 2+\frac{99}{100}\cdot\frac{98}{100}\cdot\frac{3}{100}\cdot 3+\dots+\frac{99}{100}\cdot\dots\cdot\frac{1}{100}\cdot 100.}\)

Z ilością sukcesów po \(\displaystyle{ n}\) rzutach robimy analogicznie, chociaż nie wiem, czy da się to napisać ogólnym wzorem dla \(\displaystyle{ n}\).

[janusz47]

\(\displaystyle{ P(A_{1}) = \frac{1}{10} , }\)

\(\displaystyle{ P(A_{2}) = P(A_{1}) + \frac{1}{100} = \frac{1}{10} + \frac{1}{100} = \frac{11}{100},}\)

..............................

\(\displaystyle{ P(A_{n} )= P(A_{n-1}) + \frac{1}{100}.}\)

\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{k=1}^{n} P(A_{k})\cdot k = P(A_{1}) + \frac{n-1}{100} = \frac{1}{10}+ \frac{n-1}{100} = \frac{n+9}{100}.}\)

[matmatmm]

Pomyliłem się we wzorze, bo nie wiedzieć czemu przeczytałem \(\displaystyle{ P(A_1)=0.01}\), co oczywiście nie zmienia metody. Poprawka:

\(\displaystyle{ EX=\sum_{k=1}^{91}P(X=k)\cdot k=P(X=1)\cdot 1+P(X=2)\cdot 2+\dots+P(X=91)\cdot 91=}\)\(\displaystyle{ =\frac{10}{100}\cdot 1+\frac{90}{100}\cdot\frac{11}{100}\cdot 2+\frac{90}{100}\cdot\frac{89}{100}\cdot\frac{12}{100}\cdot 3+\dots+\frac{90}{100}\cdot\dots\cdot\frac{1}{100}\cdot 91.}\)



Janusz, czym jest u ciebie \(\displaystyle{ n}\) i te zdarzenia \(\displaystyle{ A_k}\). Sądząc po wzorze

\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{k=1}^{n} P(A_{k})\cdot k}\)

mniemam, że \(\displaystyle{ A_k=\{X=k\}}\), a \(\displaystyle{ n=91}\). Wyniki nie zgadzają się z moimi obliczeniami.

[janusz47]

\(\displaystyle{ A_{k} = \{X = k \} = \{ X= k-1 \} + 0,01 = A_{k-1} +0,01.}\)

[a4karo]

Sformułowanie zadania jest przedziwne: po stu porażkach prawdopodobieństwo kolejnego zdarzenia będzie wynosić `1.1`.

[janusz47]

Jutro wrócę do tego ciągu zdarzeń i ich prawdopodobieństw. Autor postu nie odpowiada na pytanie "skąd pochodzi treść zadania?"

[matmatmm]

Sformułowanie zadania jest przedziwne: po stu porażkach prawdopodobieństwo kolejnego zdarzenia będzie wynosić `1.1`.

Sto porażek jest niemożliwe, bo wcześniej prawdopodobieństwo sukcesu wyniesie \(\displaystyle{ 1}\). Doświadczenie losowe można przedstawić w formie skończonego drzewa.

[janusz47]

Skonstruowanie rozkładu prawdopodobieństwa określonego za pomocą tego rekurencyjnego wzoru jest niemożliwe, bo suma prawdopodobieństw rośnie nieograniczenie.

[a4karo]

Sformułowanie zadania jest przedziwne: po stu porażkach prawdopodobieństwo kolejnego zdarzenia będzie wynosić `1.1`.

Sto porażek jest niemożliwe, bo wcześniej prawdopodobieństwo sukcesu wyniesie \(\displaystyle{ 1}\). Doświadczenie losowe można przedstawić w formie skończonego drzewa.

Prawdopodobieństwo jeden nie oznacza, że zdarzenie jest pewne. Porażka ma pstwo zero, ale zdarzyć się może

[matmatmm]

Wątpię.

Zmiana wartości zmiennej losowej na zbiorze miary zero nie zmienia wartości oczekiwanej.

[a4karo]

Ale jak `A_{90}` będzie zdarzeniem o prawdopodobieństwie `1` i zdarzy się, że nie zajdzie, to zgodnie z algorytmem zdarzenie `A_{91}` ma mieć prawdopodobieństwo `1.01`, a to już cud.

[matmatmm]

Ten wzór rekurencyjny

\(\displaystyle{ P(A_{n+1})=P(A_n)+0.01}\)

jest niepoprawny (dlatego napisałem, że opis jest niefortunny). Na podstawie opisu słownego zadania, jak zdefiniujemy \(\displaystyle{ A_k=\{X=k\}}\), to \(\displaystyle{ P(A_k)=0}\) począwszy od \(\displaystyle{ k=92}\).

[Radkos]

Dziękuję za multum odpowiedzi oraz dyskusję, odpowiadając na pytania odnośnie treści zadania to treści nie ma. Jest to problem który sobie wymyśliłem stąd też problem z opisaniem sytuacji. Na potrzeby zadania załóżmy że przestrzeń jest skończonej mocy, np. Sukces zdarzenia bazowany jest na podstawie liczby wygenerowanej komputerowo, wtedy jeśli dobrze rozumiem po 90 porażkach sukces jest konieczny. Jeśli też dobrze odczytuję, to gry chciałbym w takich warunkach policzyć jaka jest szansa na przynajmniej 2 sukcesy przy 50 rzutach to zostaje mi liczenie ręczne drzewem lub symulacja w pythonie? Dziękuję za pomoc i pozdrawiam serdecznie.