Matematyka.pl

Która liczba jest większa \(\displaystyle{ 16^{125}}\) czy \(\displaystyle{ 15^{128}}\) ?

Na pewno zacząłbym od pierwiastka czwartego stopnia z obu liczb. Niestety nie widzę jak łatwo dalej pociągnąć rozwiązanie (nie licząc szacowania liczby \(\displaystyle{ \log_2{15}}\) przez ułamki z pomocą kalkulatora).

Głupie pytanie, ale nie można by zdefiniować funkcji \(\displaystyle{ x^{x}}\) i \(\displaystyle{ x^{x+3}}\) zróżniczkować w liczbach dodatnich i zobaczyć jak one się zmieniają w okolicach tych liczb? Dałoby to coś?

Nie bardzo.

Rozważmy na przykład funkcję o wzorze

\(\displaystyle{ f(x)= (x-1)^{8x} - x^{8x-3}}\).

Interesuje nas pytanie: jaki znak ma liczba \(\displaystyle{ f(16)}\) ?

Niestety badanie pochodnej pozwala stwierdzić jedynie przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne (powodzenia przy badaniu znaku pochodnej). Z drugiej strony nasz problem sprowadza się do szukania miejsc zerowych.

Sprowadziłem problem do porównania liczb \(\displaystyle{ 2^{65}}\) i \(\displaystyle{ 5^{28}}\).

Mamy do udowodnienia, która liczba jest większa \(\displaystyle{ 16^{125}}\) czy \(\displaystyle{ 15^{128}}\)
Podnosimy obie strony do potęgi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) otrzymując pytanie: \(\displaystyle{ 2^{125}}\) czy \(\displaystyle{ 15^{32}}\).
Weźmy inną liczbę: \(\displaystyle{ 2^{60} \cdot 5^{28}}\)
Porównajmy liczby: \(\displaystyle{ 2^{60} \cdot 5^{28}}\) i \(\displaystyle{ 15^{32}}\). Podnosimy obie strony do potęgi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) otrzymując pytanie: \(\displaystyle{ 2^{15}\cdot5^{7}}\) czy \(\displaystyle{ 15^{8}}\).
Dzielimy obie strony przez \(\displaystyle{ 5^7}\) otrzymując \(\displaystyle{ 2^{15}}\) czy \(\displaystyle{ 3^8\cdot5}\) co łatwo już policzyć nawet pisemnie:
\(\displaystyle{ 2^{15}=2^{10}\cdot2^5=1024\cdot32=32768; 3^8\cdot5=6561\cdot5=32805}\)
tak więc \(\displaystyle{ 2^{60} \cdot 5^{28} < 15^{32}}\)

Z drugiej strony wystarczy nam porównać liczby: \(\displaystyle{ 5^{125}}\) i \(\displaystyle{ 2^{60}\cdot5^{28}}\). Po podzieleniu obustronnie przez \(\displaystyle{ 2^{60}}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2^{65}}\) i \(\displaystyle{ 5^{28}}\)

To już może na jakimś kalkulatorze by przeszło:
\(\displaystyle{ 2^{65} = 36893488147419103232}\)
\(\displaystyle{ 5^{28} = 37252902984619140625}\)

Może ktoś coś z tego zrobi. Ideą tego rozwiązania było by udowodnić \(\displaystyle{ 2^{125} < 2^{60} \cdot 5^{28} < 15^{32} \Rightarrow 2^{125} < 15^{32}}\).
Trzeba by było jakoś udowodnić, że \(\displaystyle{ 2^{65} < 5^{28}}\) nie wyliczając tych liczb.