Szereg z arc
: 7 paź 2023, o 12:25
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \arctg\left( \frac{2}{n^2} \right) = \frac{3}{4} \pi }\).
Wykorzystujac wzor na tangens roznicy katow i zapisujac wyraz ogolny szeregu jako
\(\displaystyle{ \frac {2}{n^2}=\frac{(n+1)-(n-1)}{1+(n+1)(n-1)}}\)
dostajemy rownosc
\(\displaystyle{ \arctan\frac {2}{n^2}=\arctan(n+1)-\arctan(n-1)}\)
czyli fajny szereg teleskopowy, ktory (jak zaraz widac po rozpisaniu) zmierza do \(\displaystyle{ \frac{3}{4}\pi }\)