Matematyka.pl

Wykazać cechę podzielności przez \(\displaystyle{ 19}\):
Odrzucamy ostatnią cyfrę \(\displaystyle{ n}\), podwajając ją i dodając do tak otrzymanej liczby; operację powtarzając aż powstanie liczba dwucyfrowa \(\displaystyle{ m}\).
Wtedy \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 19}\) jeśli \(\displaystyle{ m}\) też jest podzielna przez \(\displaystyle{ 19}\).
i na odwrót;

Przykład
\(\displaystyle{ n=3135}\); \(\displaystyle{ 323 }\) \(\displaystyle{ 38= m}\)

Podzielność przez \(\displaystyle{ 19}\) zachowuje każdy krok opisanej operacji, która z liczby \(\displaystyle{ n}\) robi liczbę \(\displaystyle{ n'=\left[ \frac{n}{10}\right]+2\left( n-10\cdot\left[ \frac{n}{10}\right] \right)= 2n-19\cdot \left[ \frac{n}{10}\right]. }\)

Oczywiście \(\displaystyle{ 19\mid n\iff 19\mid n'.}\)

JK