Strona 1 z 1
Potęgi i układ
: 29 wrz 2023, o 11:56
autor: mol_ksiazkowy
Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{x+y}=y^{12} \\ y^{x+y}= x^3 \end{cases} }\)
w zbiorze liczb dodatnich
Re: Potęgi i układ
: 29 wrz 2023, o 12:43
autor: a4karo
Jeżeli jedna ze zmiennych jest równa `1`, to druga też, więc mamy jedną parę rozwiązań `(x,y)=(1,1)`
Jeżeli natomiast `y\ne 1`, to \(\displaystyle{ y^{x+y}=\left(x^{x+y}\right)^{\frac{3}{x+y}}=y^{\frac{36}{x+y}}}\)
i stąd \(\displaystyle{ x+y=6}\) i dalej `x=y^2`, a więc `y^2+y=6`, co daje drugą parę `(x,y)=(4,2)`