Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ p>5}\) będzie liczbą pierwszą, a zbiór \(\displaystyle{ X}\) składa się z elementów \(\displaystyle{ p-n^2}\) gdzie \(\displaystyle{ n^2 <p}\). Udowodnić, że w zbiorze \(\displaystyle{ X}\) istnieją elementy \(\displaystyle{ x \neq y}\) i \(\displaystyle{ x \neq 1}\) takie, że \(\displaystyle{ x}\) dzieli \(\displaystyle{ y}\).

Z obserwacji zauważyłem, że aby teza zadania była spełniona \(\displaystyle{ p }\)nie zawsze musi być pierwsze

np:

\(\displaystyle{ 27=3^2+18}\)

\(\displaystyle{ 27=5^2+2}\)

\(\displaystyle{ 2|18}\)

Ale póki co zostańmy przy pierwszych

Najpierw sobie rozpisywałem liczby pierwsze:

\(\displaystyle{ 7=1^2+6}\)

\(\displaystyle{ 7=2^2+3}\)

Od razu widać, że:

\(\displaystyle{ p>5}\) musi być

......................................

\(\displaystyle{ 13=1^2+12}\)

\(\displaystyle{ 13=3^2+4}\)

.........................................

\(\displaystyle{ 17=1^2+16}\)

\(\displaystyle{ 17=3^2+8}\)

.......................................

\(\displaystyle{ 23=3^2+14}\)

\(\displaystyle{ 23=4^2+7}\)

.......................................

\(\displaystyle{ 59=3^2+50}\)

\(\displaystyle{ 59=7^2+10}\)

Jak widać w każdym wypadku to działa, zauważyłem też, że każdy ten najmniejszy dzielnik \(\displaystyle{ k}\) gdzie:

\(\displaystyle{ p=m^2+k}\)

\(\displaystyle{ 1<k<2m}\)

zauważyłem też pewną prawidłowość a mianowicie:

\(\displaystyle{ k \cdot 2^s=a(2m-a), s=0,1,2,...}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a}\)

a skoro tak jest to:

\(\displaystyle{ k| p-(m-a)^2=p-m^2+2am-a^2=k+a(2m-a)=k+2^sk=0 \mod k}\)

Warunek, że: \(\displaystyle{ p}\) liczba pierwsza implikuje, że: \(\displaystyle{ (m,a)=1 \Rightarrow m \neq a}\)

Choć według mnie w zadaniu wystarczy założyć względną pierwszość...

Przykłady na przykład dla przypadku dla którego nie zachodzi teza:

\(\displaystyle{ 10=1^2+9}\)

\(\displaystyle{ 10=2^2+6}\)

\(\displaystyle{ 10=3^2+1}\)

..........................................

\(\displaystyle{ 12=1^2+11}\)

\(\displaystyle{ 12=2^2+8}\)

\(\displaystyle{ 12=3^2+3}\)

Jak widać sprawa rozbija się tu o względną pierwszość bardziej niż o samą pierwszość...