Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{i,j=1}^{n} \cos(A_i - A_j) \geq 0}\) dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ A_1,..,A_n}\).

Rozważmy pojedynczy składnik sumy:

\(\displaystyle{ \cos(A_{i}-A_{j})}\)

Korzystamy z tożsamości tryg.:

\(\displaystyle{ \cos(A_{i}-A_{j})=\cos(A_{i})\cos(A_{j})+\sin(A_{i})\sin(A_{j})}\)

wtedy:

\(\displaystyle{ \sum_{i,j=1}^{n}\cos(A_{i}-A_{j})=\sum_{i,j=1}^{n}(\cos(A_{i})\cos(A_{j})+\sin(A_{i})\sin(A_{j}))= (\sum_{i=1}^{n}\cos(A_{i}))^{2}+(\sum_{i=1}^{n}\sin(A_{i}))^{2}}\)

zatem:

\(\displaystyle{ (\sum_{i=1}^{n}\cos(A_{i}))^{2}+(\sum_{i=1}^{n}\sin(A_{i}))^{2} \ge 0}\)

Suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, dlatego dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ A_{1},..., A_{n}}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \sum_{i,j=1}^{n}\cos(A_{i}-A_{j}) \ge 0 }\)

ckd.

Niezłe przejście między podwójnym sumowaniem a pojedynczym, tak zwana redukcja indeksów...

po łac: "index reductionis"