Strona 1 z 1
Suma kosinusów
: 22 wrz 2023, o 20:15
autor: mol_ksiazkowy
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{i,j=1}^{n} \cos(A_i - A_j) \geq 0}\) dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ A_1,..,A_n}\).
Re: Suma kosinusów
: 16 lis 2023, o 21:28
autor: RagaiH
Rozważmy pojedynczy składnik sumy:
\(\displaystyle{ \cos(A_{i}-A_{j})}\)
Korzystamy z tożsamości tryg.:
\(\displaystyle{ \cos(A_{i}-A_{j})=\cos(A_{i})\cos(A_{j})+\sin(A_{i})\sin(A_{j})}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \sum_{i,j=1}^{n}\cos(A_{i}-A_{j})=\sum_{i,j=1}^{n}(\cos(A_{i})\cos(A_{j})+\sin(A_{i})\sin(A_{j}))= (\sum_{i=1}^{n}\cos(A_{i}))^{2}+(\sum_{i=1}^{n}\sin(A_{i}))^{2}}\)
zatem:
\(\displaystyle{ (\sum_{i=1}^{n}\cos(A_{i}))^{2}+(\sum_{i=1}^{n}\sin(A_{i}))^{2} \ge 0}\)
Suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, dlatego dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ A_{1},..., A_{n}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \sum_{i,j=1}^{n}\cos(A_{i}-A_{j}) \ge 0 }\)
ckd.
Re: Suma kosinusów
: 16 lis 2023, o 21:34
autor: arek1357
Niezłe przejście między podwójnym sumowaniem a pojedynczym, tak zwana redukcja indeksów...
po łac: "index reductionis"