Zbiory borelowskie
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 30 lip 2019, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Europa
Zbiory borelowskie
Mam problem ze zbiorami borelowskimi. Nie za bardzo wiem dlaczego rodzina
\[
\bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X)
\]wyczerpuje wszystkie zbiory borelowskie. Bazując na książce Classical Descriptive Set Theory S. Kechris mamy następujące definicje:
Dla \(\displaystyle{ 1\leq \xi<\omega_1 }\) definiujemy
\[
\Sigma_1^0(X)-\text{zbiory otwarte}
\]
\[
\Pi_{\xi}^0(X)-\text{dopełnienia zbiorów z}\quad \Sigma_{\xi}^0(X)
\]Dla \(\displaystyle{ \xi>1}\)
\[
\Sigma_{\xi}^0(X)=\left\{\bigcup_n A_n\colon A_n \in \Pi_{\xi_n}^0(X), \xi_n<\xi, n \in \mathbb N\right\}
\]Dalej definiujemy
\[
\Delta_{\xi}^0(X)=\Sigma_{\xi}^0(X)\cap \Pi_{\xi}^0(X)
\]Wówczas mamy
\[
\Sigma_{\xi}^0(X) \cup \Pi_{\xi}^0(X)\subset \Delta_{\xi+1}^0(X)
\]oraz
\[
\Sigma_{\xi+1}^0(X)=(\Pi_{\xi_n}^0(X))_\sigma.
\]Do tego momentu wszystko jasne. Dalej mamy
\[
B(X)=\bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X)=\bigcup_{\xi<\omega_1}\Pi_{\xi}^0(X)=\bigcup_{\xi<\omega_1}\Delta_{\xi}^0(X)
\]Pierwsza równość nie jest dla mnie jasna, pozostałe są zrozumiałe. Inkluzja
\[
\bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X) \subset B(X)
\]musi zachodzić, gdyż \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebra jest zamknięta na przeliczalne sumy i przekroje. Niejasna jest dla mnie inkluzja
\[
B(X)\subset \bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X)
\]Jak rozumiem wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ \bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X)}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą, gdyż z definicji \(\displaystyle{ B(X)}\) jest to przekrój \(\displaystyle{ \sigma}\)- algebr zawierających zbiory otwarte.
Np. co jeżeli wybierzemy \(\displaystyle{ A_n \in \Sigma^0_{n}\setminus \Sigma^0_{n-1}}\), to wówczas dla jakiego indeksu \(\displaystyle{ \xi}\) mamy
\[
\bigcup_{n}A_n\in \Sigma^0_{\xi}
\]
\[
\bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X)
\]wyczerpuje wszystkie zbiory borelowskie. Bazując na książce Classical Descriptive Set Theory S. Kechris mamy następujące definicje:
Dla \(\displaystyle{ 1\leq \xi<\omega_1 }\) definiujemy
\[
\Sigma_1^0(X)-\text{zbiory otwarte}
\]
\[
\Pi_{\xi}^0(X)-\text{dopełnienia zbiorów z}\quad \Sigma_{\xi}^0(X)
\]Dla \(\displaystyle{ \xi>1}\)
\[
\Sigma_{\xi}^0(X)=\left\{\bigcup_n A_n\colon A_n \in \Pi_{\xi_n}^0(X), \xi_n<\xi, n \in \mathbb N\right\}
\]Dalej definiujemy
\[
\Delta_{\xi}^0(X)=\Sigma_{\xi}^0(X)\cap \Pi_{\xi}^0(X)
\]Wówczas mamy
\[
\Sigma_{\xi}^0(X) \cup \Pi_{\xi}^0(X)\subset \Delta_{\xi+1}^0(X)
\]oraz
\[
\Sigma_{\xi+1}^0(X)=(\Pi_{\xi_n}^0(X))_\sigma.
\]Do tego momentu wszystko jasne. Dalej mamy
\[
B(X)=\bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X)=\bigcup_{\xi<\omega_1}\Pi_{\xi}^0(X)=\bigcup_{\xi<\omega_1}\Delta_{\xi}^0(X)
\]Pierwsza równość nie jest dla mnie jasna, pozostałe są zrozumiałe. Inkluzja
\[
\bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X) \subset B(X)
\]musi zachodzić, gdyż \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebra jest zamknięta na przeliczalne sumy i przekroje. Niejasna jest dla mnie inkluzja
\[
B(X)\subset \bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X)
\]Jak rozumiem wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ \bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X)}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą, gdyż z definicji \(\displaystyle{ B(X)}\) jest to przekrój \(\displaystyle{ \sigma}\)- algebr zawierających zbiory otwarte.
Np. co jeżeli wybierzemy \(\displaystyle{ A_n \in \Sigma^0_{n}\setminus \Sigma^0_{n-1}}\), to wówczas dla jakiego indeksu \(\displaystyle{ \xi}\) mamy
\[
\bigcup_{n}A_n\in \Sigma^0_{\xi}
\]
Ostatnio zmieniony 22 wrz 2023, o 16:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34539
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Re: Zbiory borelowskie
Dla \(\displaystyle{ \xi=\omega.}\)1jacek2kowalski3 pisze: ↑22 wrz 2023, o 16:18 Np. co jeżeli wybierzemy \(\displaystyle{ A_n \in \Sigma^0_{n}\setminus \Sigma^0_{n-1}}\), to wówczas dla jakiego indeksu \(\displaystyle{ \xi}\) mamy
\[
\bigcup_{n}A_n\in \Sigma^0_{\xi}
\]
Cały dowcip polega na tym, że konstrukcja ma długość \(\displaystyle{ \omega_1}\), a to jest regularna liczba kardynalna i każdy przeliczalny ciąg elementów \(\displaystyle{ \omega_1}\) (odpowiadających indeksom rodzin, z których bierzesz zbiory do sumy) jest ograniczony w \(\displaystyle{ \omega_1}\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 30 lip 2019, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Europa
Re: Zbiory borelowskie
Miałem przeczucie, że nie rozumiem sumowania
\[
\bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X).
\]Mimo wszystko myślałem, że w gruncie rzeczy jest to suma po naturalnych. Z tego co widzę to chyba nie zwróciłem uwagi na "niewielką" różnicę między \(\displaystyle{ \omega, \omega_1.}\)
Czyli wygląda na to, że ta rodzina jest nieco większa, niż myślałem.
\[
\bigcup_{\xi<\omega_1}\Sigma_{\xi}^0(X).
\]Mimo wszystko myślałem, że w gruncie rzeczy jest to suma po naturalnych. Z tego co widzę to chyba nie zwróciłem uwagi na "niewielką" różnicę między \(\displaystyle{ \omega, \omega_1.}\)
Czyli wygląda na to, że ta rodzina jest nieco większa, niż myślałem.
Ostatnio zmieniony 22 wrz 2023, o 17:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34539
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Re: Zbiory borelowskie
"Nieco" to spore niedomówienie. Cała istota tej konstrukcji polega właśnie na jej długości - musi być nieprzeliczalna, żeby wynik był zamknięty na przeliczalne sumy (w taki sam sposób, jak konstrukcja nieskończona dawałaby zamkniętość na skończone sumy).1jacek2kowalski3 pisze: ↑22 wrz 2023, o 17:08Czyli wygląda na to, że ta rodzina jest nieco większa, niż myślałem.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 30 lip 2019, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Europa
Re: Zbiory borelowskie
Muszę porządnie nadrobić liczby porządkowe. A tak wyprzedzając fakty to z czego będzie wynikać ta zamkniętość na przeliczalne operacje? Czy jeżeli
\[
A_n \in \Sigma_{\xi_n}^0(X)
\]dla pewnych \(\displaystyle{ \xi_n<\omega_1}\) to wtedy istnieje liczba porządkowa \(\displaystyle{ \xi_0<\omega_1}\) taka, że \(\displaystyle{ \xi_n<\xi_0}\) czy jeszcze o coś innego chodzi? Przyznam, że to nie moja działka i nigdy indukcja pozaskończona nie była mi potrzebna.
\[
A_n \in \Sigma_{\xi_n}^0(X)
\]dla pewnych \(\displaystyle{ \xi_n<\omega_1}\) to wtedy istnieje liczba porządkowa \(\displaystyle{ \xi_0<\omega_1}\) taka, że \(\displaystyle{ \xi_n<\xi_0}\) czy jeszcze o coś innego chodzi? Przyznam, że to nie moja działka i nigdy indukcja pozaskończona nie była mi potrzebna.
Ostatnio zmieniony 22 wrz 2023, o 20:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34539
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Re: Zbiory borelowskie
Dokładnie tak. I wtedy masz \(\displaystyle{ A_n \in \Sigma_{\xi_0}^0(X)}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\), bo te rodziny tworzą wstępujący ciąg zbiorów.1jacek2kowalski3 pisze: ↑22 wrz 2023, o 20:23 Muszę porządnie nadrobić liczby porządkowe. A tak wyprzedzając fakty to z czego będzie wynikać ta zamkniętość na przeliczalne operacje? Czy jeżeli
\[
A_n \in \Sigma_{\xi_n}^0(X)
\]dla pewnych \(\displaystyle{ \xi_n<\omega_1}\) to wtedy istnieje liczba porządkowa \(\displaystyle{ \xi_0<\omega_1}\) taka, że \(\displaystyle{ \xi_n<\xi_0}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 30 lip 2019, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Europa
Re: Zbiory borelowskie
W sumie to pewnie nie jest aż tak potrzebne ale wystarczy żeby \(\displaystyle{ \xi_n \leq \xi_0}\) i wtedy może wystarczy \(\displaystyle{ \xi_0=\{\xi_n \colon n \in \mathbb N\}}\)- przeliczalny zbiór liczb porządkowych. Wtedy mielibyśmy
\[
A_n \in \Sigma_{\xi_0}^0(X)\quad\Rightarrow A_n \in \Pi_{\xi_0+1}^0(X)\quad\Rightarrow \bigcup_n A_n\in \Sigma_{\xi_0+2}^0(X)
\]
\[
A_n \in \Sigma_{\xi_0}^0(X)\quad\Rightarrow A_n \in \Pi_{\xi_0+1}^0(X)\quad\Rightarrow \bigcup_n A_n\in \Sigma_{\xi_0+2}^0(X)
\]
-
- Administrator
- Posty: 34539
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Re: Zbiory borelowskie
Wystarczy. Ale to zupełnie bez różnicy.1jacek2kowalski3 pisze: ↑22 wrz 2023, o 21:16 W sumie to pewnie nie jest aż tak potrzebne ale wystarczy żeby \(\displaystyle{ \xi_n \leq \xi_0}\)
Przeliczalny zbiór liczb porządkowych niekoniecznie jest liczbą porządkową, więc ten zapis nie bardzo ma sens. Ale może być \(\displaystyle{ \xi_0=\sup\{\xi_n \colon n \in \mathbb N\}.}\)1jacek2kowalski3 pisze: ↑22 wrz 2023, o 21:16i wtedy może wystarczy \(\displaystyle{ \xi_0=\{\xi_n \colon n \in \mathbb N\}}\)- przeliczalny zbiór liczb porządkowych.
Prościej jest stwierdzić, że skoro \(\displaystyle{ (\forall n\in\NN)A_n \in \Sigma_{\xi_0}^0(X)}\), to \(\displaystyle{ \bigcup_n A_n\in \Sigma_{\xi_0}^0(X)}\), bo przeliczalna suma przeliczalnych sum jest przeliczalną sumą.1jacek2kowalski3 pisze: ↑22 wrz 2023, o 21:16Wtedy mielibyśmy
\[
A_n \in \Sigma_{\xi_0}^0(X)\quad\Rightarrow A_n \in \Pi_{\xi_0+1}^0(X)\quad\Rightarrow \bigcup_n A_n\in \Sigma_{\xi_0+2}^0(X)
\]
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 30 lip 2019, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Europa
Re: Zbiory borelowskie
Ano tak
\[
\xi_0=\bigcup \{\xi_n\colon n \in \mathbb N\}=\xi_1\cup \xi_2\cup \xi_3\cup ...
\]tj. suma mnogościowa zbiorów \(\displaystyle{ \xi_n}\).
\[
\xi_0=\bigcup \{\xi_n\colon n \in \mathbb N\}=\xi_1\cup \xi_2\cup \xi_3\cup ...
\]tj. suma mnogościowa zbiorów \(\displaystyle{ \xi_n}\).
-
- Administrator
- Posty: 34539
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 30 lip 2019, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Europa
Re: Zbiory borelowskie
Tak jeszcze dla uściślenia. Jeżeli dobrze zrozumiałem to napisałeś, że rodzina
\[
\Sigma_{\xi}^0(X)
\]tworzy wstępujący ciąg zbiorów tzn. dla \(\displaystyle{ \xi<\xi' }\) mamy \(\displaystyle{ \Sigma_{\xi}^0(X)\subset \Sigma_{\xi'}^0(X)}\)? Tego nie jestem pewien. Dla przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ (X, \tau)}\) gdzie
\(\displaystyle{ X=\{0,1\}, \tau=\{\emptyset, X, \{0\}\}}\) mamy
\[
\Sigma_{1}^0(X)=\tau, \quad \Pi_{1}^0(X)=\{\emptyset, X, \{1\}\}
\]
\[
\Sigma_{2}^0(X)=\{\emptyset, X, \{1\}\}\quad \Pi_{2}^0(X)=\tau
\]Chociaż może być tak, że jest to prawda począwszy od "pewnego indeksu", jeżeli to ma sens dla liczb porządkowych. Ale raczej skłaniam się ku temu, że jest to rodzina wstępująca dla przestrzeni z aksjomatem T6, jeżeli dobrze pamiętam. W każdym razie, gdy zbiór domknięty jest przeliczalnym przekrojem zbiorów otwartych.
\[
\Sigma_{\xi}^0(X)
\]tworzy wstępujący ciąg zbiorów tzn. dla \(\displaystyle{ \xi<\xi' }\) mamy \(\displaystyle{ \Sigma_{\xi}^0(X)\subset \Sigma_{\xi'}^0(X)}\)? Tego nie jestem pewien. Dla przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ (X, \tau)}\) gdzie
\(\displaystyle{ X=\{0,1\}, \tau=\{\emptyset, X, \{0\}\}}\) mamy
\[
\Sigma_{1}^0(X)=\tau, \quad \Pi_{1}^0(X)=\{\emptyset, X, \{1\}\}
\]
\[
\Sigma_{2}^0(X)=\{\emptyset, X, \{1\}\}\quad \Pi_{2}^0(X)=\tau
\]Chociaż może być tak, że jest to prawda począwszy od "pewnego indeksu", jeżeli to ma sens dla liczb porządkowych. Ale raczej skłaniam się ku temu, że jest to rodzina wstępująca dla przestrzeni z aksjomatem T6, jeżeli dobrze pamiętam. W każdym razie, gdy zbiór domknięty jest przeliczalnym przekrojem zbiorów otwartych.
-
- Administrator
- Posty: 34539
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Re: Zbiory borelowskie
Jak ja myślę o zbiorach borelowskich, to w dość regularnych przestrzeniach (np. polskich), stąd ta uwaga.
JK
JK