Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \phi(m+n) = \phi(m)+ \phi(n) }\) dla nieskończenie wielu liczb \(\displaystyle{ m \neq n}\) .

\(\displaystyle{ m=2 \cdot 3^a , n=3^{a+1}}\)

\(\displaystyle{ m+n=2 \cdot 3^a+3^{a+1}=3^a(2+3)=5 \cdot 3^a}\)

\(\displaystyle{ \phi(m+n)=\phi(5 \cdot 3^a)=\phi(5) \cdot \phi(3^a)=4 \cdot 3^{a-1} \cdot 2=8 \cdot 3^{a-1}}\)

\(\displaystyle{ \phi(m)=\phi(2 \cdot 3^a)=\phi(2) \cdot \phi(3^a)=2 \cdot 3^{a-1}}\)

\(\displaystyle{ \phi(n)=\phi(3^{a+1})=2 \cdot 3^a}\)

Teraz sprawdźmy czy:

\(\displaystyle{ \phi(m+n)=\phi(m)+\phi(n)}\)

czyli czy zachodzi:

\(\displaystyle{ 8 \cdot 3^{a-1}=2 \cdot 3^{a-1}+2 \cdot 3^a/:3^{a-1}}\)

\(\displaystyle{ 8=2+2 \cdot 3=8}\)

Więc zachodzi dla nieskończenie wielu: \(\displaystyle{ a \in N}\)