Strona 1 z 1
równoważne mierzalności funkcji
: 18 wrz 2023, o 00:11
autor: Niepokonana
jakie są warunki równoważne mierzalności funkcji?
Obraz i przeciwobraz są mierzalne, co jeszcze? Coś jeszcze da się wymyślić?
Re: równoważne mierzalności funkcji
: 18 wrz 2023, o 01:23
autor: Janusz Tracz
Niepokonana pisze: ↑18 wrz 2023, o 00:11
Obraz i przeciwobraz są mierzalne
Skąd ten pomysł? Obraz mało mówi o mierzalności. Funkcja
\(\displaystyle{ f:(X,\Sigma_X)\to(Y,\Sigma_Y)}\) jest
\(\displaystyle{ (\Sigma_X,\Sigma_Y)}\)-mierzalna, gdy (z definicji)
\(\displaystyle{ (\forall B\in \Sigma_Y) f^{-1}\left[ B\right]\in\Sigma_X }\). Co do warunków równoważnych to w całkowitej ogólności takich nie znam. Jest jednak znany warunek równoważny
\(\displaystyle{ (\Sigma_X,\Sigma_Y)}\)-mierzalności przy pewnych założeniach; mianowicie, gdyby
\(\displaystyle{ \Sigma_Y=\sigma(\mathcal{Y})}\) dla pewnego
\(\displaystyle{ \mathcal{Y} \subset \mathcal{P}(Y)}\), to znaczy
\(\displaystyle{ \Sigma_Y}\) byłaby generowana przez rodzinę
\(\displaystyle{ \mathcal{Y}}\) to wystarczy sprawdzić
\(\displaystyle{ (\forall B\in \mathcal{Y}) f^{-1}\left[ B\right]\in\Sigma_X }\). Co jest zwykle łatwiejsze bo kwantyfikujemy po mniejszym zbiorze
\(\displaystyle{ \mathcal{Y}}\), a nie całej
\(\displaystyle{ \Sigma_Y}\). Dla funkcji rzeczywistych to szczególnie często się przydaje. Wystarczy sprawdzać Borelowską mierzalność na zbiorach otwartych jako, że
\(\displaystyle{ \mathcal{Bor}(\RR)}\) jest generowana właśnie przez zbiory otwarte.