Matematyka.pl

Zając porusza się z prędkością \(\displaystyle{ v}\) i musi przemknąć przez tory kolejowe wprost na grządkę kapusty; i będąc w odległości \(\displaystyle{ d}\) od torów dostrzega pędzącą lokomotywę odległą od nigo o \(\displaystyle{ l}\) \(\displaystyle{ (l > d)}\).
Wyznaczyć minimalne \(\displaystyle{ v}\), takie, aby zając zdołał uciec przed pociągiem i w którą stronę ma uciekać

\(\displaystyle{ v=0}\) - zając stoi w miejscu, więc pociąg go nie dopadnie (bo nie stoi na torach), więc ucieknie przed pociągiem.

JK

Bez prędkości pociągu chyba dużo nie da się zdziałać

a4karo pisze: ↑16 wrz 2023, o 18:28 Bez prędkości pociągu chyba dużo nie da się zdziałać

No przecież masz napisane, że lokomotywa "pędzi", więc pewną informację o prędkości pociągu posiadasz.

JK

lokomotywa "pędzi",

z prędkościa \(\displaystyle{ u}\)

Dodano po 1 minucie 47 sekundach:
--> stanie wyklucza uciekanie...

\(\displaystyle{ v_{min}=\frac{d}{l}u}\) a kąt ostry jaki tworzy ten wektor z torami dany jest przez zależność \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{d}{l}}\) no i skierowany jest on "w tym samym kierunku" co jedzie pociąg.

mol_ksiazkowy pisze: ↑16 wrz 2023, o 18:51 --> stanie wyklucza uciekanie...

Ale to może być rozsądny zając i wie, że czasami lepiej się nie ruszać i poczekać, aż pociąg przejedzie obok (a potem spokojnie pokicać do kapusty).

Chodzi raczej o to, że sformułowanie zadania jest niezbyt szczęśliwe, bo o ile rozumiem zając wcale nie ma uciekać przed pociągiem, tylko wręcz przeciwnie - raczej (szukając adrenaliny) rzuca się pod pociąg, ale na tyle szybko, że zdąży przeskoczyć mu przed nosem (tzn. lokomotywą)...

JK

\(\displaystyle{ v_{min}=\frac{d}{l}u}\)

A czemu tak

Ale to może być rozsądny zając i wie, że czasami lepiej się nie ruszać i poczekać, aż pociąg przejedzie obok (a potem spokojnie pokicać do kapusty).

Oczywiście: skomplikowana psychika zająca może uczynić zadanie niemożliwym do rozwiązania; poza tym jak wiadomo z kina "zając lubi buraczki"...

mol_ksiazkowy pisze: ↑16 wrz 2023, o 20:21 A czemu tak

Przechodzimy do układu odniesienia związanego z pociągiem. W układzie tym prędkość zająca jest wektorową sumą prędkości \(\displaystyle{ -\vec{u}}\) i jego (nieznanej) prędkości względem ziemi. No i jak się odpowiednio długo popatrzy na odpowiedni rysunek, który załączam, to widać dlaczego \(\displaystyle{ \vec{v}_{min}}\) jest jakie jest

Oznaczmy `s=\sqrt{l^2-d^2}`. Zakładając, że pociąg i zając to punkty materialne rozpatrzmy trzy przypadki.
1) `d/x<s/u` - zając biegnąc prostopadle do toru przemyka przed pociągiem
2) `d/x>s/u` - zając biegnąc prostopadle do toru przemyka za pociągiem
3) `d/x=s/u` - zając biegnąc prawie prostopadle do toru w kierunku nadjeżdżającego pociągu przemyka za pociągiem.

A czym jest \(\displaystyle{ x}\)

Sorry, miało być `v`

Czy zając musi pędzić prostopadle do toru

W zasadzie tak. Szansa, że trafi w pociąg jest zerowa.

Oczywiście zadanie interpretuje się tak, że zając ma zdążyć PRZED pociągiem. I wtedy trzeba paru rachunków

mol_ksiazkowy pisze: ↑18 wrz 2023, o 18:54 Czy zając musi pędzić prostopadle do toru

a4karo pisze: ↑18 wrz 2023, o 19:14 W zasadzie tak.

Nie (no chyba że \(\displaystyle{ l\approx d}\)), a kąt pod jakim biegnie podałem wyżej. Jak ktoś nie lubi zabaw ze zmianą układu odniesienia i woli rozwiązania bardziej matematyczne:

zapiszmy równania ruchu pociągu i zająca (oś OX pokrywa się z torami, oś OY przechodzi przez początkowe położenie zająca):
\(\displaystyle{ x_p(t)=-x_o+ut \\
x_z(t)=v\cos\alpha t\\
y_z(t)=-d+v\sin\alpha t}\)
gdzie \(\displaystyle{ x_0=\sqrt{l^2-d^2}}\), a kąt alfa jest szukanym przez nas kątem minimalizującym v.
Z równań otrzymujemy zależność
\(\displaystyle{ \frac{ud}{v}=d\cos\alpha+x_0\sin\alpha}\)
która osiąga maximum dla \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{d}{l}}\).

Zajanuszuję sobie jeszcze i zainteresowanych odeślę do książki (obu tomów) Fizyka, Butikow, Bykow, Kondratiew. Znaleźć tam można więcej tego typu zadań (wraz z rozwiązaniami).