Matematyka.pl

Udowodnij nierówność:
\(\displaystyle{ x-x^3<\sin x<x}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Jeśli można to udowodnić bez pochodnych to chciałbym bez pochodnych.

Dodano po 22 godzinach 7 minutach 10 sekundach:
Ok, jak się nie da bez pochodnych to może być z pochodnymi.

Jak możęsz używać rachunku różniczkowego, to spróbuj sam. Zbadaj funkcję `f(x)=x-\sin x`

Poczekaj, najpierw chciałbym spróbować bez pochodnych. Da się bez?

Prawą się da. Narysuj sobie koło jednostkowe i kąt `x` radianów pierwszej ćwiartce. Czym jest `x`, czym jest `\sin x`?
Co do lewej, nie próbowałem

No dobra to zacznijmy od tej prawej. Według tego opisu, który przedstawiłeś, to \(\displaystyle{ x}\) to będzie długość tego łuku, na którym oparty jest kąt \(\displaystyle{ x}\). Natomiast \(\displaystyle{ \sin x}\) jest "wysokością" tego łuku, to znaczy jest długością przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(\displaystyle{ x}\), w powstałym trójkącie prostokątnym. No to teraz chyba jasne jest, że długość tego łuku jest większa niż długość tej wysokości, chociaż nie wiem jak to dokładnie uzasadnić? No, ale ok czy takie uzasadnienie jest dobre?

To rzeczywiście trzeba uzasadnić. Ale prościej porównać pola

Ok, to pole tego wycinka kołowego to będzie \(\displaystyle{ \frac{x}{2\pi} \cdot \pi= \frac{x}{2} }\). A pole tego trójkąta znajdującego się wewnątrz tego wycinka jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{1}{2}\sin x }\). A zatem widzimy, że pole tego wycinka jest większe od pola trójkąta bo trójkąt jest wewnątrz, czyli możemy stwierdzić, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sin x < \frac{x}{2} }\), czyli \(\displaystyle{ \sin x < x}\). Dobrze?

Dodano po 15 godzinach 32 minutach 42 sekundach:
a4karo, możesz się wypowiedzieć?

Nie wierzysz w to, co robisz?

Nie no raczej wierzę, ale przy tych dowodach geometrycznych mam czasem wątpliwości. No dobra czyli to jest ok, ale to jest dla kąta ostrego czyli dla \(\displaystyle{ x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) }\), a jak uzasadnić, że ta nierówność jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ x>0}\)?

Aha chyba wiem, \(\displaystyle{ \sin x \le 1}\), a zatem skoro dla \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} }\) jest \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{2}=1 }\), a funkcja \(\displaystyle{ x}\) jest rosnąca, to zawsze będzie \(\displaystyle{ \sin x<x}\), bo sinus nigdy nie przekracza jedynki. Dobrze?

Dodano po 17 minutach 32 sekundach:
No dobra, a w takim razie jak udowodnić nierówność \(\displaystyle{ x<\tg x}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0, \frac{\pi}{2}) }\)?

Popatrz na ten sam rysunek. Dorysuj pionową kreskę z punktu (1,0)

Aha dobra chyba wiem o co Ci chodzi. Jak dorysuję tą pionową kreskę to powstanie taki zewnętrzny trójkąt, którego jeden bok ma długość \(\displaystyle{ 1}\), a drugi bok prostopadły do niego ma długość \(\displaystyle{ \tg x}\). A zatem pole tego zewnętrznego trójkąta jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tg x= \frac{1}{2}\tg x }\). No i znowu możemy stwierdzić, że ten zewnętrzny trójkąt ma większe pole niż ten wycinek koła w środku, bo ten wycinek leży całkowicie wewnątrz tego trójkąta, a zatem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}x< \frac{1}{2}\tg x }\) czyli \(\displaystyle{ x<\tg x}\). Dobrze?

Fatalnie

Ok, a zatem wykazałem (nieformalnie chyba?), że \(\displaystyle{ \sin x < x}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\) i \(\displaystyle{ x<\tg x}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0, \frac{\pi}{2}) }\). No ok to teraz spróbuję pokazać, że \(\displaystyle{ x-x^3<\sin x}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\). Najpierw spróbuję to pokazać dla \(\displaystyle{ x\in (0, \frac{\pi}{2})}\). W tym przedziale mamy \(\displaystyle{ \sin x < x <\tg x}\). W tym przedziale mamy też, że \(\displaystyle{ 0<\cos x < 1}\), a zatem \(\displaystyle{ x\cos ^2 x<x\cos x < \sin x <x}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ x-x^3=x(1-x^2)<x(1-\sin^2 x)=x\cos ^2x<\sin x<x}\), a zatem \(\displaystyle{ x-x^3<\sin x< x}\) w przedziale \(\displaystyle{ x \in (0, \frac{\pi}{2}) }\). Dobrze?

Natomiast dla \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} }\) mamy \(\displaystyle{ x-x^3= \frac{\pi}{2}- \frac{\pi^3}{8}<-1<1=\sin x }\) i dalej zauważmy, że funkcja \(\displaystyle{ x-x^3}\) jest malejąca w przedziale \(\displaystyle{ ( \frac{\pi}{2},\infty) }\), a sinus nigdy nie spada poniżej \(\displaystyle{ -1}\), zatem zawsze będzie \(\displaystyle{ x-x^3<\sin x}\). Czyli podsumowując to wszystko dostajemy, że
\(\displaystyle{ x-x^3<\sin x < x}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\) co kończy dowód. Dobrze?

Dodano po 24 sekundach:
Dlaczego fatalnie?

Fatalnie, bo nie potrafisz stwierdzić, czy to co robisz jest poprawne. A może tylko wyniosłeś z przedszkola potrzebę potwierdzania każdego działania?

A co jest złego w tym, że chcę coś sprawdzić, upewnić się? Wy jesteście dużo lepszymi matematykami ode mnie, więc myślę, że warto to z Wami skonsultować. Myślałem, że to forum polega na tym, że jedni wrzucają zadania, a inni sprawdzają i podpowiadają, ale ok jak nie chcesz sprawdzić to ok, Twoja sprawa. Ja nie słyszę sprzeciwu, więc zakładam, że jest dobrze.