Strona 1 z 2
Najkrótszy czas przejścia drogi
: 12 wrz 2023, o 22:44
autor: 41421356
Podróżnik przemieszcza się pomiędzy początkiem układu współrzędnych, a punktem \(\displaystyle{ \left(10, 10\right)}\). Droga między tymi punktami przechodzi przez dwa różne tereny: gęsty las oraz plażę. Granica pomiędzy tym lasem, a plażą wyznacza prosta \(\displaystyle{ x=5}\). Prędkość podróżnika w lesie oraz na plaży to odpowiednio pół jednostki na sekundę oraz jedna jednostka na sekundę. W jakim najkrótszym czasie podróżnik przebędzie zamierzoną drogę?
Jakieś wskazówki jak to w ogóle zacząć?
Re: Najkrótszy czas przejścia drogi
: 12 wrz 2023, o 23:07
autor: Jan Kraszewski
Podróżny zmienia teren w punkcie \(\displaystyle{ (5,a)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a\in[0,10]}\). Napisz funkcję opisującą czas przejścia \(\displaystyle{ t(a)}\) w zależności od wyboru \(\displaystyle{ a}\) i wyznacz jej minimum.
JK
Re: Najkrótszy czas przejścia drogi
: 13 wrz 2023, o 00:17
autor: 41421356
Ale w jaki sposób mam wyznaczyć tą funkcję \(\displaystyle{ t(a)}\)?
Re: Najkrótszy czas przejścia drogi
: 13 wrz 2023, o 00:30
autor: Jan Kraszewski
Pomyśl.
Czas jest sumą czasu przejścia przez las i przez plażę. A w szkole uczą, że prędkość to droga przez czas. Prędkość znasz, drogę policzysz, to i czas wyznaczysz.
JK
Re: Najkrótszy czas przejścia drogi
: 13 wrz 2023, o 01:15
autor: 41421356
Jak mam policzyć drogę jak nie wiadomo nawet po jakiej krzywej idę?
Re: Najkrótszy czas przejścia drogi
: 13 wrz 2023, o 02:09
autor: Jan Kraszewski
No jak nie wiesz?
Wiesz gdzie zaczynasz i gdzie kończysz, a po drodze dochodzisz do punktu \(\displaystyle{ (5,a)}\) na granicy kultur. W każdym ze środowisk wybierasz najkrótszą drogę.
JK
Re: Najkrótszy czas przejścia drogi
: 13 wrz 2023, o 03:07
autor: 41421356
Ok, wyszła mi funkcja:
\(\displaystyle{ f(a)=2\sqrt{25+a^2}+\sqrt{25+(10-a)^2}}\)
I przyrównując pochodną do zera otrzymuję takie równanie:
\(\displaystyle{ 3a^4-60a^3+375a^2+500a-2500=0}\)
I tutaj się zatrzymałem
Re: Najkrótszy czas przejścia drogi
: 13 wrz 2023, o 08:45
autor: arek1357
Wzory na równanie czwartego sotpnia...
Re: Najkrótszy czas przejścia drogi
: 13 wrz 2023, o 09:21
autor: 41421356
No właśnie co do ich konieczności użycia w tym zadaniu mam wątpliwości. To jest zadanie z analizy, a nie z algebry.
Re: Najkrótszy czas przejścia drogi
: 13 wrz 2023, o 09:40
autor: a4karo
Chcesz powiedzieć, że gdyby wyszedł trójmian kwadratowy, to by było OK, a jak wyszedł wielomian 4 stopnia, to się zrobiło zadanie z algebry???
To równanie nie ma "porządnych" rozwiązań. Chodziło raczej o to, że ma ono zilustrować prawo załamania. Wróć do policzenia pochodnej, narysuj sobie obrazek i sprawdź czemu odpowiadają liczniki i mianowniki. To będą funkcje trygonometryczne pewnych kątów, pomnożone przez współczynniki odpowiadające prędkościom w różnych środowiskach
Re: Najkrótszy czas przejścia drogi
: 13 wrz 2023, o 10:52
autor: 41421356
a4karo pisze: ↑13 wrz 2023, o 09:40
Chcesz powiedzieć, że gdyby wyszedł trójmian kwadratowy, to by było OK, a jak wyszedł wielomian 4 stopnia, to się zrobiło zadanie z algebry???
Nie chodzi o stopień wielomianu, a o elementarność jego rozłożenia na czynniki. Ja jeszcze nigdy nie spotkałem się z takim zadaniem z analizy, gdzie podstawowe rachunki z algebry nie wystarczają.
a4karo pisze: ↑13 wrz 2023, o 09:40
... narysuj sobie obrazek...
A w jaki sposób mam sobie ten obrazek narysować?
Re: Najkrótszy czas przejścia drogi
: 13 wrz 2023, o 11:22
autor: a4karo
Papier w kratkę się przyda
Re: Najkrótszy czas przejścia drogi
: 13 wrz 2023, o 13:02
autor: 41421356
Czy dobrze rozumiem, że chcesz abym narysował tą funkcję bez badania jej przebiegu zmienności? Serio?
Re: Najkrótszy czas przejścia drogi
: 13 wrz 2023, o 13:08
autor: Jan Kraszewski
Nie funkcję, tylko rysunek do zadania. Zacznij od narysowania kwadratu o wierzchołkach w \(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ (10,10).}\)
JK
Re: Najkrótszy czas przejścia drogi
: 13 wrz 2023, o 13:33
autor: a4karo
A potem narysuj drogę