Równanie płaszczyzny
: 12 wrz 2023, o 18:20
Na Forum pojawiło się zadanie o następującej treści:
Proszę wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni \(\displaystyle{ x^2 +y^2 + z = 4 }\) i równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ x+2y +z -1 = 0.}\)
Powierzchnia jest zbiorem \(\displaystyle{ B = \{(x, y, z)\in \RR^3: z = 4 - x^2 -y^2 \} }\) zadana równaniem \(\displaystyle{ x^2 +y^2 + z -4 = 0. }\)
Gradient \(\displaystyle{ grad(x^2 +y^2 +z -4 = 0) = [2x, 2y, 1] }\) nie jest wektorem zerowym w żadnym punkcie zbioru \(\displaystyle{ B.}\)
Wobec tego płaszczyzna styczna do zbioru \(\displaystyle{ B }\) w punkcie \(\displaystyle{ (p_{1}, p_{2}, p_{3}) }\) to płaszczyzna prostopadła do wektora
\(\displaystyle{ [2p_{1},2p_{2}, 1] }\) i przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ (p_{1},p_{2}, p_{3})}\), czyli płaszczyzna \(\displaystyle{ 2p_{1}x + 2p_{2}y + z = 2p_{1}^2 +2p_{2}^2 +p_{3}.}\)
Płaszczyzna ta ma być równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ x + 2y + z -1 =0 }\) wtedy i tylko wtedy, gdy wektor \(\displaystyle{ [2p_{1}, 2p_{2}, 1] }\) jest równoległy do wektora
prostopadłego tej płaszczyzny \(\displaystyle{ [1, 2, 1].}\)
Istnieje więc taka liczba rzeczywista \(\displaystyle{ t, }\) że prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ [2p_{1},2p_{2}, 1]\cdot t = [1,2,1] }\)
Stąd
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2p_{1} \cdot t = 1 \\ 2p_{2}\cdot t = 2 \\ t = 1 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} p_{1} = \frac{1}{2} \\ p_{2} = 1 \\ t=1 \end{cases} }\)
Podstawiając współrzędne tych punktów do równania powierzchni, otrzymujemy współrzędną \(\displaystyle{ p_{3}}\) punktu styczności.
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} + 1 + p_{3} = 4 \rightarrow p_{3} = \frac{11}{4}.}\)
Równanie płaszczyzny stycznej:
\(\displaystyle{ 2\cdot \frac{1}{2} x + 2\cdot 1 y + z = 2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\cdot 1^2 + \frac{11}{4} = \frac{21}{4}.}\)
czyli
\(\displaystyle{ x + 2y + z - \frac{21}{4} = 0.}\)
Proszę wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni \(\displaystyle{ x^2 +y^2 + z = 4 }\) i równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ x+2y +z -1 = 0.}\)
Powierzchnia jest zbiorem \(\displaystyle{ B = \{(x, y, z)\in \RR^3: z = 4 - x^2 -y^2 \} }\) zadana równaniem \(\displaystyle{ x^2 +y^2 + z -4 = 0. }\)
Gradient \(\displaystyle{ grad(x^2 +y^2 +z -4 = 0) = [2x, 2y, 1] }\) nie jest wektorem zerowym w żadnym punkcie zbioru \(\displaystyle{ B.}\)
Wobec tego płaszczyzna styczna do zbioru \(\displaystyle{ B }\) w punkcie \(\displaystyle{ (p_{1}, p_{2}, p_{3}) }\) to płaszczyzna prostopadła do wektora
\(\displaystyle{ [2p_{1},2p_{2}, 1] }\) i przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ (p_{1},p_{2}, p_{3})}\), czyli płaszczyzna \(\displaystyle{ 2p_{1}x + 2p_{2}y + z = 2p_{1}^2 +2p_{2}^2 +p_{3}.}\)
Płaszczyzna ta ma być równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ x + 2y + z -1 =0 }\) wtedy i tylko wtedy, gdy wektor \(\displaystyle{ [2p_{1}, 2p_{2}, 1] }\) jest równoległy do wektora
prostopadłego tej płaszczyzny \(\displaystyle{ [1, 2, 1].}\)
Istnieje więc taka liczba rzeczywista \(\displaystyle{ t, }\) że prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ [2p_{1},2p_{2}, 1]\cdot t = [1,2,1] }\)
Stąd
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2p_{1} \cdot t = 1 \\ 2p_{2}\cdot t = 2 \\ t = 1 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} p_{1} = \frac{1}{2} \\ p_{2} = 1 \\ t=1 \end{cases} }\)
Podstawiając współrzędne tych punktów do równania powierzchni, otrzymujemy współrzędną \(\displaystyle{ p_{3}}\) punktu styczności.
\(\displaystyle{ \frac{1}{4} + 1 + p_{3} = 4 \rightarrow p_{3} = \frac{11}{4}.}\)
Równanie płaszczyzny stycznej:
\(\displaystyle{ 2\cdot \frac{1}{2} x + 2\cdot 1 y + z = 2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\cdot 1^2 + \frac{11}{4} = \frac{21}{4}.}\)
czyli
\(\displaystyle{ x + 2y + z - \frac{21}{4} = 0.}\)