Matematyka.pl

Udowodnić nierówność dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) i każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ 1+x+x^2+...+x^{2n}>0}\)

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Lewa strona jest równa \(\displaystyle{ \frac{coś}{x-1}}\)

Ok, racja to jest ciąg geometryczny. Czy może być takie uzasadnienie? Jeśli \(\displaystyle{ x=1}\), to oczywiście lewa strona jest dodatnia bo suma dowolnej ilości jedynek jest dodatnia, a jeśli \(\displaystyle{ x \neq 1}\) to mamy, że lewa strona jest równa \(\displaystyle{ \frac{1-x^{2n+1}}{1-x} }\) i teraz zauważmy, że gdy \(\displaystyle{ 0<x<1}\) to licznik i mianownik jest dodatni, bo od jedynki odejmujemy liczbę mniejszą niż jeden, a jeśli \(\displaystyle{ x\le 0}\) to znowu licznik i mianownik jest dodatni, bo od jedynki odejmujemy liczbę niedodatnią, a iloraz dwóch liczb dodatnich jest dodatni, albo \(\displaystyle{ x>1}\) i wówczas licznik jest ujemny i mianownik też jest ujemny, bo mamy nieparzystą potęgę \(\displaystyle{ x}\), a zatem i w tym przypadku lewa strona jest dodatnia.

Czy tak jest dobrze?

Prościej tak: funkcja `x^{2n+1}` jest ściśle rosnąca, więc znaki wyrażeń `x^{2n+1}-1^{2n+1}` i `x-1` są takie same/