Matematyka.pl

Na platformie jadącej z prędkością \(\displaystyle{ v}\) stoi armata z lufą o długości \(\displaystyle{ l}\) wzniesiona do góry pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). Krople deszczu przelatują przez lufę wzdłuż jej osi w czasie \(\displaystyle{ t_1}\). Jakim ruchem poruszają się krople w powietrzu? Oblicz wartość prędkości \(\displaystyle{ u}\) kropel oraz określ kierunek wektora prędkości względem ziemi.

Wartość wektora prędkości kropel wynosi \(\displaystyle{ v_{k} = \frac{l}{t_{1}} }\) i wektor ten jest skierowany wzdłuż osi lufy.

Wektor \(\displaystyle{ \vec{v}_{k} }\) jest wypadkową wektora prędkość platformy ze zwrotem przeciwnym \(\displaystyle{ -\vec{v} }\) oraz wektora prędkości kropel unoszonych przez wiatr \(\displaystyle{ \vec{u} }\) względem Ziemi, który mamy obliczyć.

Stosując twierdzenie kosinusów do trójkąta tych prędkości (rys.) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ u^2 = \left(\frac{l}{t_{1}}\right)^2 + v^2 - 2 v_{k}\cdot v \cos(\alpha) }\)

\(\displaystyle{ u = \sqrt{\left(\frac{l}{t_{1}}\right)^2 + v^2 - 2\frac{l}{t_{1}}v\cdot \cos(\alpha)}. }\)

Z Twierdzenia Sinusów zastosowanego do tego samego trójkąta:

\(\displaystyle{ \frac{v_{k}}{\sin(\beta)} = \frac{u}{\sin(\alpha)} }\)

\(\displaystyle{ \sin(\beta) = \frac{v_{k}}{u}\sin(\alpha) = \frac{l}{u\cdot t_{1}}\cdot \sin(\alpha).}\)

\(\displaystyle{ \beta = \arcsin \left( \frac{l}{u\cdot t_{1}}\cdot \sin(\alpha)\right).}\)

Jest to zadanie na zastosowanie Twierdzenia Carnota (kosinusów) i Twierdzenia Snelliusa (sinusów) do trójkąta prędkości.