Matematyka.pl

Udowodnić, że wielomian \(\displaystyle{ x^{3n+2}+x^{3k+1}+x^{3m}}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ k,m,n}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

WSK. Pokaż, że każdy pierwiastek trójmianu kwadratowego jest pierwiastkiem wielomianu

Wsk2 kazdy pierwiastek trójmianu kwadratowego spełnia rrównanie `t^3=1`

Ale przecież ten trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków. To co tu pokazywać?

A tej drugiej wskazówki to w ogóle nie rozumiem. Jeśli \(\displaystyle{ t^3=1}\) to \(\displaystyle{ t=1}\)... i co z tego?

wsk \(\displaystyle{ W(x)-(x^2+x+1)= x^2(x^{3n}-1)+ x(x^{3k}-1) +x^{3m}-1}\)

max123321 pisze: 1 wrz 2023, o 23:11 Ale przecież ten trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków. To co tu pokazywać?

A tej drugiej wskazówki to w ogóle nie rozumiem. Jeśli \(\displaystyle{ t^3=1}\) to \(\displaystyle{ t=1}\)... i co z tego?

A nie słyszałeś o liczbach zespolonych?

Ale to ma być dla liczb rzeczywistych. To jest zadanie ze szkoły średniej. Jak zatem?

max123321 pisze: 2 wrz 2023, o 01:39 Ale to ma być dla liczb rzeczywistych.

Co nie wyklucza użycia zespolonych przy rozwiązaniu.

max123321 pisze: 2 wrz 2023, o 01:39To jest zadanie ze szkoły średniej.

Serio? W jakim kraju?

JK

W Polsce.

Czyli co nie da się zrobić tego zadania nie używając liczb zespolonych?

Przecież mol ci napisał inny sposób

Ok, to idąc za wskazówką mola mamy:
\(\displaystyle{ W(x)-(x^2+x+1)= x^2(x^{3n}-1)+ x(x^{3k}-1) +x^{3m}-1=
}\)
\(\displaystyle{ =x^2(x^3-1)( \sum_{s=0}^{n-1}x^{3s})+x(x^3-1)( \sum_{s=0}^{k-1}x^{3s})+(x^3-1)( \sum_{s=0}^{m-1}x^{3s})=}\)
\(\displaystyle{ =x^2(x-1)(x^2+x+1)( \sum_{s=0}^{n-1}x^{3s})+x(x-1)(x^2+x+1)( \sum_{s=0}^{k-1}x^{3s})+(x-1)(x^2+x+1)( \sum_{s=0}^{m-1}x^{3s})=
}\)
\(\displaystyle{ =(x^2+x+1)(x^2(x-1)( \sum_{s=0}^{n-1}x^{3s})+x(x-1)( \sum_{s=0}^{k-1}x^{3s})+(x-1)( \sum_{s=0}^{m-1}x^{3s})) }\).
Wyciągneliśmy \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) przed duży nawias, a w dużym nawiasie mamy pewien wielomian, a zatem wyjściowy wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\), bo \(\displaystyle{ W(x)=(x^2+x+1)(x^2(x-1)( \sum_{s=0}^{n-1}x^{3s})+x(x-1)( \sum_{s=0}^{k-1}x^{3s})+(x-1)( \sum_{s=0}^{m-1}x^{3s})+1)}\).

Czy tak jest dobrze?

max123321 pisze: 2 wrz 2023, o 15:36 W Polsce.

A konkretniej?

JK

Ojejku, a czy to jest takie ważne? Jest to zadanie z pewnego zbioru trudniejszych zadań dla liceum. Fakt, że niektóre zadania z tego zbioru są gwiazdkowe, ale to jest jednak zakres szkoły średniej. Dobrej szkoły średniej. Tyle wystarczy?

Lepiej powiedz mi, czy dobrze rozwiązałem to zadanie post wyżej.

Dodano po 1 dniu 43 minutach 3 sekundach:
Czy może ktoś zweryfikować czy post wyżej dobrze to rozwiązałem?