Strona 1 z 1
Nierówność z monotoniczności
: 31 sie 2023, o 17:27
autor: 41421356
Uzasadniając monotoniczność odpowiedniej funkcji wykazać, że zachodzi poniższa nierówność:
\(\displaystyle{ \left(1-x^2\right)^n>1-nx^2}\) dla \(\displaystyle{ 0\leq x\leq 1}\)
Jakieś pomysły?
Re: Nierówność z monotoniczności
: 31 sie 2023, o 17:30
autor: mol_ksiazkowy
może
\(\displaystyle{ f(x)= (1-x^2)^n+ nx^2 }\)...
Re: Nierówność z monotoniczności
: 31 sie 2023, o 17:39
autor: 41421356
Tą funkcja dla \(\displaystyle{ n}\)-nieparzystych nie będzie monotoniczna.
Re: Nierówność z monotoniczności
: 31 sie 2023, o 20:51
autor: a4karo
A nierówność nie zachodzi dla `n=1`
Re: Nierówność z monotoniczności
: 31 sie 2023, o 20:57
autor: Jan Kraszewski
Dla \(\displaystyle{ n=0}\) też nie zachodzi.
JK
Re: Nierówność z monotoniczności
: 31 sie 2023, o 21:38
autor: a4karo
A przy `x=0` nie zachodzi dla żadnego `n`
Re: Nierówność z monotoniczności
: 31 sie 2023, o 21:44
autor: 41421356
Faktycznie coś nie tak jest z tym zadaniem. Ta nierówność będzie chyba nieprawdziwa również dla dowolnych \(\displaystyle{ n}\)-nieparzystych.
Re: Nierówność z monotoniczności
: 31 sie 2023, o 21:47
autor: a4karo
Przecież to jest nierówność Bernoulliego (prawie)
Re: Nierówność z monotoniczności
: 1 wrz 2023, o 11:46
autor: 41421356
Mam już wersję poprawioną:
\(\displaystyle{ 0<x\leq 1}\) oraz \(\displaystyle{ n\geq 2}\)
(sama nierówność pozostaje bez zmian)