Łatwo widać, że przeliczalne przecięcie sigma ciał jest sigma ciałem.
Ktoś to widzi, bo ja nie? Jak to udowodnić?
Re: Przecięcie sigma ciał
: 29 sie 2023, o 00:39
autor: Janusz Tracz
To jest prawdziwe nawet dla dowolnych przekrojów. I pokazujesz to tak jak zawsze czyli z definicji. Niech \(\displaystyle{ \mathbf{\Sigma}}\) będzie indeksowaną rodzinną \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciał (nad wspólną przestrzenią \(\displaystyle{ X}\)) tzn.: \(\displaystyle{ \mathbf{\Sigma} = \left\{ \Sigma_i:i\in I\right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ I}\) to zbiór indeksów (potencjalnie dowolnej mocy) oraz \(\displaystyle{ \Sigma_i \subseteq \mathcal{P}(X)}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem. Aby pokazać, ze \(\displaystyle{ \bigcap \mathbf{\Sigma} }\) to \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało pokazujemy z definicji trzy rzeczy;
Jeśli \(\displaystyle{ A\in \bigcap \mathbf{\Sigma} }\) to \(\displaystyle{ X \setminus A \in \bigcap \mathbf{\Sigma}.}\)
To zrobię, choć jest równie proste jak wcześniejszy podpunkt. Ustalamy więc \(\displaystyle{ A\in \bigcap \mathbf{\Sigma} }\). Stąd wynika, że dla każdego \(\displaystyle{ i\in I}\); \(\displaystyle{ A\in \Sigma_i}\), a jako, że \(\displaystyle{ \Sigma_i}\) to \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało to dla każdego \(\displaystyle{ i\in I}\); \(\displaystyle{ X \setminus A\in \Sigma_i}\). A to oznacza, że faktycznie \(\displaystyle{ X \setminus A \in \bigcap \mathbf{\Sigma}}\).
3:
Jeśli \(\displaystyle{ (A_n)_{n=1}^{\infty} \subset \bigcap \mathbf{\Sigma} }\) to \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in \bigcap \mathbf{\Sigma}.}\)
Ten podpunkt wygląda groźniej od poprzednich ale nie jest trudniejszy. Więc dostaniesz tylko wskazówkę. Czy jeśli \(\displaystyle{ (A_n)_{n=1}^{\infty} \subset \bigcap \mathbf{\Sigma} }\) to można powiedzieć, że dla każdego \(\displaystyle{ i\in I}\) mamy \(\displaystyle{ (A_n)_{n=1}^{\infty} \subset \bigcap \Sigma_i }\)? A co z tego wynika skoro \(\displaystyle{ \Sigma_i}\) jest zawsze \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem? Mamy więc tezę...
Re: Przecięcie sigma ciał
: 29 sie 2023, o 01:47
autor: Niepokonana
Faktycznie 1. warunek jest oczywisty lol
Skoro A należy do przecięcia, to należy do wszystkich, a że to są sigma ciała, to dopełnienie A też należy do wszystkich, przez co należy do dopełnienia. No i analogicznie dla podpunktu 3, skoro pewna suma należy do wszystkich sigma ciał, to należy do ich przekroju. I piszemy z dowolności wyboru A wynika to i tamto i koniec dowodu.
Re: Przecięcie sigma ciał
: 29 sie 2023, o 23:38
autor: Janusz Tracz
Niepokonana pisze: 29 sie 2023, o 01:47
I piszemy z dowolności wyboru A wynika to i tamto i koniec dowodu.
Jak już to nie z dowolności wyboru \(\displaystyle{ A}\) bo tu nie kwantyfikujesz bezpośrednio po zbiorach (jak w podpunkcie 2) tylko po ciągach zbiorów, więc z dowolności wyboru \(\displaystyle{ (A_n)_{n=1}^{\infty}}\). Poza tym pisanie tego na końcu dowodu to imho lekka nadgorliwość (ale nie błąd). Wystarczy, że na początku napiszesz, że ustalasz ciąg zbiorów taki, że itd. i to wystarczy. To jest równie jak nie bardziej czytelne. Ale ogólnie to elegancko.
Niepokonana pisze: 29 sie 2023, o 01:47
wynika to i tamto i koniec dowodu.