Matematyka.pl

Udowodnić, że \(\displaystyle{ a+b \leq NWD(a,b)+ NWW(a,b)}\) i zbadać możliwość uogólnienia dla większej liczby zmiennych.

Dla 2 zmiennych zadanie dość proste, dla większej liczby nie mam pomysłu, ale wracając:
\(\displaystyle{ NWD(a;b)=k}\)
\(\displaystyle{ a+b \le k+ \frac{ab}{k} \ |\cdot k }\)
\(\displaystyle{ k^2-k(a+b)+ab \ge 0}\)
\(\displaystyle{ k \le \frac{a+b-|a-b|}{2} \vee ...}\)
\(\displaystyle{ k \le min(a;b) \vee ...}\)
Jak wiemy najmniejszy wspólny dzielnik dwóch liczb nie może być większy od którejkolwiek z nich, więc teza naszego zadania jest spełniona dla każdej pary liczb \(\displaystyle{ (a;b)}\).

Mogę tylko powiedzieć, że:
\(\displaystyle{ a+b+c \le NWD(a;b;c)+NWW(a;b;c)}\)
dla:
\(\displaystyle{ a=b=c=5}\)
nie jest spełnione.
Stąd proponuję rozszerzenie:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}{a_i} \le f(n)(NWD(a)+NWW(a)) }\)
lub 2 propozycja:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}{a_i} \le NWD(a)+f(n)NWW(a) }\)
Funkcji \(\displaystyle{ f}\) nie znam( wiadomo, że \(\displaystyle{ f(2)=1}\) ale dalsze wartości(przynajmniej dla mnie) pozostają tajemnicą.
Mój typ na wzór tej funkcji:
\(\displaystyle{ f(n)=n-1 }\)
Pozostawiam temat otwarty. I ciekaw jestem dowodu. Mogę dać swoją podpowiedź, że spełnione będzie następujące coś( w obu propozycjach uogólnienia na więcej zmiennych):
\(\displaystyle{ \forall_{n\in\mathbb{N_+}\setminus\{1\}}:f(n) \ge n-1}\)
Podpowiedź2:
Przy mojej pierwszej propozycji dla \(\displaystyle{ n>2}\), wydaje się zachodzić ostra nierówność.
Podsumowanie:
Fajnie by było, gdyby ktoś udowodnił:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}{a_i} \le NWD(a)+(n-1)NWW(a) }\)

po prostu \(\displaystyle{ (k-a)(k-b) \geq 0}\) o to chodziło ...?

Tak też można, ale bawienie się przedziałami nie jest najmilsze( trzeba rozpatrzeć 2 przypadki, a tak mamy ładnie rozwiązane.