Matematyka.pl

Znalazłem taką definicję zbioru otwartego: jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest on sumą kul otwartych. Ale przecież dla kuli otwartej też istnieje dowód na jej bycie zbiorem otwartym. Które z tych pojęć ma pierwszeństwo?

Zbiór otwarty z definicji jest elementem ustalonej rodziny zbiorów danej przestrzeni, którą to rodzinę nazywamy topologią.

Natomiast podana przez Ciebie definicja odnosi się do przestrzeni metrycznej i mówi, w jaki sposób metryka zadaje topologię: najpierw zadajemy bazę, czyli rodzinę wszystkich kul otwartych (i sprawdzamy, że rodzina ta spełnia warunki bycia bazą), a potem podana przez Ciebie definicja zbioru otwartego jest konsekwencją ogólnej reguły, mówiącej w jaki sposób definiujemy topologię za pomocą bazy.

JK

fosil pisze: 25 sie 2023, o 22:47 Znalazłem taką definicję zbioru otwartego: jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest on sumą kul otwartych. Ale przecież dla kuli otwartej też istnieje dowód na jej bycie zbiorem otwartym.

Też mnie to kiedyś zastanawiało.

Niektórzy przyjmują definicję, że zbiór \(\displaystyle{ U}\) jest otwarty, gdy dla każdego punktu \(\displaystyle{ x \in U}\) istnieje liczba \(\displaystyle{ r>0}\) taka, że kula o środku w \(\displaystyle{ x}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\) zawiera się w \(\displaystyle{ U}\).

Według takiej definicji otwartość kuli otwartej nie jest natychmiastowym wnioskiem i wymaga krótkiego dowodu (z użyciem nierówności trójkąta).