Matematyka.pl

Udowodnić, że prosta może przecinać parabolę w \(\displaystyle{ 0,1,2}\) punktach, zaś nie może przecinać paraboli w większej liczbie punktów.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Równanie prostej niech będzie \(\displaystyle{ y=ax+b}\)
Równanie paraboli niech będzie \(\displaystyle{ y=cx^2+dx+e}\)
Trzeba zatem przyrównać to do siebie, żeby znaleźć przecięcia. Mamy:
\(\displaystyle{ cx^2+dx+e=ax+b}\) i dalej
\(\displaystyle{ cx^2+(d-a)x+e-b=0}\)
, zatem widzimy, że jest to równanie kwadratowe, które na pewno nie może mieć więcej niż dwóch rozwiązań, to wynika z własności funkcji kwadratowej, a zatem nie może być więcej niż dwóch przecięć prostej z parabolą. Uzasadnię, że może mieć \(\displaystyle{ 2}\) rozwiązania.
Obliczmy deltę:
\(\displaystyle{ \Delta=(d-a)^2-4c(e-b)>0}\)
, zatem na przykład jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ d=10,a=1,c=2,e=4,b=3}\) to ta nierówność jest prawdziwa, delta jest dodatnia, zatem mamy dwa rozwiązania.
Uzasadnię, że może mieć \(\displaystyle{ 1}\) rozwiązanie:
jeśli weźmiemy na przykład \(\displaystyle{ d=1,a=1,e=2,b=2,c=3}\) to delta będzie równa zero i mamy jedno rozwiązanie.
Uzasadnię, że może mieć \(\displaystyle{ 0}\) rozwiązań:
Gdy weźmiemy na przykład \(\displaystyle{ d=2,a=1,c=10,e=4,b=3}\) to delta będzie ujemna, zatem będzie brak rozwiązań.

Czy tak jest dobrze?

Dobrze uzasadniłeś, że mogą być tu co najwyżej dwa punkty przecięcia.
A to, że tych punktów przecięcia może być zarówno dwa, jak i jeden , jak i wcale, jest oczywiste:
Weź parabolę \(\displaystyle{ y=x^2}\) (do każdego z tych trzech przypadków), i odpowiednie proste: \(\displaystyle{ y=1}\), \(\displaystyle{ y=0}\) i \(\displaystyle{ y=-1.}\)

Dodano po 7 minutach 2 sekundach:

Jakub Gurak pisze:Dobrze uzasadniłeś, że mogą być tu co najwyżej dwa punkty przecięcia.

Ups, są jeszcze proste pionowe, tzn. proste postaci \(\displaystyle{ x=a}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \RR}\), to może jeszcze trzeba by było tu sprawdzić...

A no racja w sumie niepotrzebnie się tak rozpisywałem. A prosta pionowa jakakolwiek by ona nie była zawsze będzie funkcję kwadratową przecinać w jednym punkcie. Chyba, że obrócimy jakoś tą parabolę, ale to tak czy siak sprowadzi się chyba do tych przypadków, które już rozpatrzyliśmy.