Matematyka.pl

Znajdź liczby \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) wiedząc, że każda z nich jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^2+bx+c}\).

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Skoro każda z tych liczb ma być pierwiastkiem to zachodzą następujące równości:
\(\displaystyle{ b^2+b^2+c=2b^2+c=0}\)
\(\displaystyle{ c^2+bc+c=0}\), a zatem
\(\displaystyle{ c(c+b+1)=0}\)
Tu widzimy, że jedno z rozwiązań to \(\displaystyle{ c_1=0}\) i co za tym idzie \(\displaystyle{ b_1=0}\). Jeśli natomiast \(\displaystyle{ c \neq 0}\), to \(\displaystyle{ c+b+1=0}\) czyli \(\displaystyle{ c=-b-1}\) i podstawiając to do pierwszego równania mamy:
\(\displaystyle{ 2b^2-b-1=0}\)
Liczymy deltę
\(\displaystyle{ \Delta=1+8=9}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=3 }\)
\(\displaystyle{ b_2= \frac{1-3}{4}=- \frac{1}{2} }\), \(\displaystyle{ c_2=- \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ b_3=1}\),\(\displaystyle{ c_3=-2}\)
A zatem mamy trzy rozwiązania \(\displaystyle{ (b,c)}\): \(\displaystyle{ (0,0),(- \frac{1}{2},- \frac{1}{2}),(1,-2) }\).

Czy tak jest dobrze?

Dodano po 12 godzinach 28 minutach 55 sekundach:
Podbijam pytanie.

Wygląda ok.

Para `(-1/2,-1/2)` raczej nie jest rozwiązaniem.

Ze wzorów Viete'a mamy
`bc=c` i `b+c=-b` co daje rozwiązania `(0,0), (1,-2)`

Dlaczego nie? Jednym z pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ x^2- \frac{1}{2}x- \frac{1}{2} }\) jest \(\displaystyle{ - \frac{1}{2} }\), więc się zgadza?

Faktycznie. Nie do końca to przeanalizowałem