Można całkować lewą stronę wyraz po wyrazie bo z twierdzenia Fejéra
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Fej%C3%A9ra#Zastosowania
szereg Fouriera jest jednostajnie zbieżny do swojej sumy
\(\displaystyle{ [x\mapsto(\pi-x)/2]\in\mathcal{C}^{1}(0,2\pi)}\). Wzór
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \cos(2\pi nx)/n^2 = (x^2-x+ 1/6 )\pi^2}\) jest więc prawdziwy na
\(\displaystyle{ (0,1)}\), choć łatwo widać, że krańce też można domknąć. Poza tym można łatwo zmodyfikować prawą stronę przesuwając parabole aby wzór był prawdziwy dla dowolnego przedziału
\(\displaystyle{ [n,n+1]}\).
Inaczej. Patrząc na to z punktu logiki można powiedzieć, że nie zależnie czy całkować można, czy nie, to i tak implikacja będzie prawdziwa bo wzór
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2\pi nx)}{n^2} = \big(x^2-x+ \frac{1}{6} \big)\pi^2 }\)
jest poprawny; w
\(\displaystyle{ x^2-x+1/6}\) dopatrzeć się można wielomianu Bernoullego
\(\displaystyle{ B_2}\). Takie wielomiany mają charakteryzacje daną szeregami Fouriera
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials#Fourier_series
\(\displaystyle{
B_{n}(x)=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.}\)
Czy można całkować \(\displaystyle{ \sin(x) + \frac{\sin(2x)}{2}+ ... \frac{\sin(3x)}{3}+.... = \frac{\pi - x}{2}}\) dla \(\displaystyle{ 0<x<2\pi}\) aby otrzymać /i w jakim przedziale/ \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2\pi nx)}{n^2} = (x^2-x+ \frac{1}{6} )\pi^2}\) 