Matematyka.pl

Obliczyć \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} {n+k \choose k} \left(\frac{2}{3} \right)^n }\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest ustalone.

\[S = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n.\]

To jest nieskończony szereg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a = 1\) i ilorazie \(r = \frac{2}{3}\). Suma takiego szeregu wynosi 3.

możemy to podstawić do sumy z wyrażeniem kombinatorycznyn:

\[\sum_{n=1}^{\infty} {n+k \choose k} \left(\frac{2}{3}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} {n+k \choose k} \left(\frac{2}{3}\right)^n - {k+k \choose k} \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 3 - 1 = 2.\]

Ostatecznie \(\sum_{n=1}^{\infty} {n+k \choose k} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 2\) dla ustalonego k.

Jasne. Tylko że ani \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} {n+k \choose k} \left(\frac{2}{3}\right)^n}\) nie jest równe `3`, ani \(\displaystyle{ {k+k \choose k} \left(\frac{2}{3}\right)^0}\) nie jest równe `1`