Matematyka.pl

Wykaż lub obal: Następujące warunki są równoważne:
i) ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest malejący i istnieje \(\displaystyle{ k}\) takie, że \(\displaystyle{ ka_{kn} \geq a_n}\) dla \(\displaystyle{ n >N}\) (tj. dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) )
ii) szereg \(\displaystyle{ \sum_{n} a_n}\) jest rozbieżny

Istnieją szeregi rozbieżne, których wyrazy nie maleją

a i) \(\displaystyle{ \Rightarrow }\) ii) ?

Przy takim sformułowaniu zadania ta implikacja też nie zachodzi, bo warunek jest automatycznie spełniony dla `k=1`.

Jeżeli natomiast założyć, że `k\ge 2` to rzeczywiście z i) wynika ii)


Załóżmy, że `a_{kn}\ge a_n/k` zachodzi dla `n\ge N`. Stąd wynika, że dla naturalnych `i` zachodzi `a_{k^i N}\ge a_N/k^i`.
Mamy
\(\displaystyle{ \sum_{m=N+1}^\infty a_m=\sum_{l=0}^\infty\sum_{i=k^lN+1}^{k^{l+1}N} a_i\ge \sum_{l=0}^\infty\sum_{i=k^lN+1}^{k^{l+1}N} a_{k^{l+1}N}=\sum_{l=0}^\infty (k^{l+1}N-k^lN-1)\frac{a_N}{k^{l+1}}}\)
\(\displaystyle{ =a_N\sum_{l=0}^\infty\left(N-\frac{N}{k}-\frac{1}{k^{l+1}}\right)=\infty }\)

Wprowadźmy oznaczenie: \(b_n = ka_{kn}\).

Dla każdego \(n > N\), z warunku \(ka_{kn} \geq a_n\) wynika, że \(b_n \geq a_n\), ponieważ \(k > 1\) oraz ciąg \(a_n\) jest malejący. Stąd mamy:

\[\sum_{n=N+1}^{\infty} b_n \geq \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n.\]

Z powyższą nierównością mamy już dostatecznie dużo by stwierdzić, że jeśli szereg \(\sum_{n} b_n\) jest zbieżny, to szereg \(\sum_{n} a_n\) także jest zbieżny. To wynika z kryterium porównawczego szeregów: jeśli dla każdego \(n\) mamy \(0 \leq a_n \leq b_n\), to jeśli szereg \(\sum_{n} b_n\) jest zbieżny, to szereg \(\sum_{n} a_n\) musi być zbieżny.

Zatem z punktu (i) możemy wnioskować o zbieżności szeregu \(\sum_{n} a_n\).

Jednakże, nie możemy wywnioskować odwrotnie, tj. z zbieżności szeregu \(\sum_{n} a_n\) nie możemy wnioskować bezpośrednio o warunku (i). Przykładem jest ciąg harmoniczny \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\), który jest zbieżny, ale nie spełnia warunku (i) z \(k\) ustalonym.

Podsumowując, warunki (i) i (ii) są równoważne, ale dowód opiera się na kierunku \(i \Rightarrow ii\), ponieważ nie można odwrotnie wywnioskować warunku (i) z zbieżności szeregu \(\sum_{n} a_n\).

Dynia5 pisze: 19 sie 2023, o 00:00

Podsumowując, warunki (i) i (ii) są równoważne, ale dowód opiera się na kierunku \(i \Rightarrow ii\), ponieważ nie można odwrotnie wywnioskować warunku (i) z zbieżności szeregu \(\sum_{n} a_n\).

Brzmi dość bełkotliwie.