Liczy zespolone - zadania

[WoDzU07]

Mam do rozwiązania taki układ równań:

x� - y� = 2
2xy = 3

z równania 2+3i = (x� - y�) + 2 xyi


oraz pierwiastek 8-go stopnia z -1, -i, 8i i 1+i

Byłbym wdzięczny za opis krok po kroku, jak co robić.

[scyth]

Mamy równania:
\(\displaystyle{ x^2-y^2=2 \\
2xy=3i}\)

Po wymnożeniu pierwszego przez \(\displaystyle{ x^2}\) i wstawieniu drugiego równania dostaję:
\(\displaystyle{ x^4-\left(\frac{3i}{2}\right)^2=2x^2 \\
x^4-2x^2+\frac{9}{4}=0 \\
4x^4-8x^2+9=0}\)

Rozwiązuję ostatnie równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ \Delta=8^2-4\cdot4\cdot9=-16\cdot5 \\
\sqrt{\Delta}=4\sqrt{5}i \\
x_1^2=\frac{2-\sqrt{5}i}{2}, x_2^2=\frac{2+\sqrt{5}i}{2}}\)

Stąd już łatwo wyliczyć jakie wartości powinien mieć x i y (zatem będą cztery różne rozwiązania tego układu).

[Lorek]

scyth, a czy nie tak czasem \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\)?

[scyth]

ponieważ przy równaniu 2xy=3 równania są koszmarne, a po pierwsze WoDzU07 sam poźniej pisze

2+3i = (x� - y�) + 2 xyi

oraz zadanie znajduje się w dziale liczby zespolone, wnioskuję, że ma być 2xy=3i i rozwiązania zespolone.

[Lorek]

No to z równania zdaje sie, że wynika \(\displaystyle{ 2xy=3}\) nie 3i. Poza tym, jeżeli \(\displaystyle{ z=x+yi}\) , to \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R}}\).

[scyth]

No fakt, źle przeczytałem zadanie a potem umknęło mi i - choć na pewno tego błedy bym nie zrobił, gdyby WoDzU07 w swoim zapisie użył \(\displaystyle{ \LaTeX-a}\).
Równanie można rozwiązać sposobem podanym powyżej:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x^2-y^2=2 \\
2xy=3
\end{cases} \\
\Rightarrow x^4-x^2y^2=2x^2 \\
x^4-\frac{9}{4}=2x^2 \\
4x^4-8x^2-9=0 \\
t=x^2, t>0 \\
\Rightarrow 4t^2-8t-9=0 \\
\Delta=8^2+4\cdot 4\cdot 9=4^2\cdot 13 \\
\Rightarrow t_0=\frac{8\pm 4\sqrt{13}}{8}=1 \pm \frac{\sqrt{13}}{2}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ t_0 > 0}\) to szukane rozwiązanie to \(\displaystyle{ t_0=1+\frac{\sqrt{13}}{2}}\). Zatem:
\(\displaystyle{ x^2=1+\frac{\sqrt{13}}{2} \\
\Rightarrow x_0=\sqrt{1+\frac{\sqrt{13}}{2}}, \ x_1=-\sqrt{1+\frac{\sqrt{13}}{2}}}\)
Z drugiego podanego równania (\(\displaystyle{ 2xy=3}\)) można wyliczyć y. Zatem szukane równanie spełniają dwie pary liczb.

Co do drugiego pytania (o wyliczanie pierwiastków) to stosuje się przedstawienie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej oraz wzory De Moivre'a - .