Matematyka.pl

Funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna oraz \(\displaystyle{ x+f(x)\cdot f'(x)+f'(x)\cdot f''(x)=0.}\) Oblicz granice

\(\displaystyle{ (1)\lim_{x\rightarrow 0}x\cdot f(x)=}\)

\(\displaystyle{ (2)\lim_{x\rightarrow 0}x\cdot f(x)\cdot f'(x)=}\)

\(\displaystyle{ (3)\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{\ln|x|}=}\)

\(\displaystyle{ (4)\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)f'(x)}{\ln|x|}=}\)

Zauważmy, że:
\begin{equation}
\begin{split}
x=\frac12(x^2)',\\
yy'=\frac12(y^2)',\\
y'y''=\frac12{(y'^2)'},
\end{split}
\end{equation}
Zatem równanie różniczkowe redukuje się do postaci:
$$x^2+y^2+y'^2=C^2,$$
a zatem wszystkie możliwe kombinacje punktów \(\displaystyle{ (x, y, y')}\) leżą na sferze o promieniu \(\displaystyle{ C}\). Stąd otrzymujemy, że:
\begin{equation}
\begin{split}
x\in[-C,C],\\
y\in[-C,C],\\
y'\in[-C,C].
\end{split}
\end{equation}
Oczywiście nie jest to ani supremum ani infimum, gdyż potrzebujemy więcej założeń, aby \(\displaystyle{ y, y'}\) były funkcjami, w dodatku y podwójnie różniczkowalną, ale najważniejsze jest to, że zarówno \(\displaystyle{ y}\) jak i \(\displaystyle{ y'}\) są ograniczone, a stąd:
(1) = 0,
(2) = 0,
(3) Ta granica jest problematyczna dla \(\displaystyle{ f'(x)=0}\), kiedy tak jest?
A no wtedy, gdy punkty na sferze należą do okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2=C^2}\), a dokładniej jeżeli \(\displaystyle{ x}\) zbiega do \(\displaystyle{ 0}\), mamy dwie możliwości, albo \(\displaystyle{ f(x)}\) zbiega do \(\displaystyle{ C}\) albo do \(\displaystyle{ -C}\). Pozostaje sprawdzenie, czy taki przypadek jest możliwy, tj. \(\displaystyle{ (0,C,0)}\) lub \(\displaystyle{ (0,-C,0)}\), aby należało w granicy do rozwiązania równania. Może twierdzenie Picarda–Lindelöfa by tu pomogło tylko trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ y'=f(x,y)}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x}\) (trywialne) i lipschitzowska w \(\displaystyle{ y}\), a to w zasadzie wynika z ograniczenia pochodnej \(\displaystyle{ y'}\).
W każdym innym przypadku, granica jest równa zero.

(4) Przypadek podobny, ale bardziej rozwinięty, problematyczny dla 4 tym razem punktów \(\displaystyle{ (0, C, 0), (0, -C, 0), (0, 0, -C), (0, 0, C)}\), w innych przypadkach jest równa zero.

Generalnie (3,4) są symetryczne, więc można to podejrzewam sprawdzić dla 1 przypadku w (3) i 2 przypadków w (4).

Maraszynko pisze: 26 sie 2023, o 10:45zarówno \(\displaystyle{ y}\) jak i \(\displaystyle{ y'}\) są ograniczone, a stąd:
(1) = 0,
(2) = 0,

A (3) i (4) nie? Dlaczego przypadek \(\displaystyle{ f(x) = 0}\) miałby być problematyczny?

Bo \(\displaystyle{ [\frac{0}{0}]}\) jest symbolem nieoznaczonym.
EDIT:
Mój błąd, nie zauważyłem, że tam jest ln w mianowniku. W takim razie żadnego twierdzenia nie potrzeba, wszystkie wyrażenia są równe zero, możemy się rozejść.