Strona 1 z 1
Odwrotność pierwiastka
: 6 sie 2023, o 22:17
autor: mol_ksiazkowy
Rozwiązać (tj. wyznaczyć \(\displaystyle{ y=f(x)}\) równanie) \(\displaystyle{ y^{\prime \prime} = \frac{1}{ \sqrt{y} } }\).
Re: Odwrotność pierwiastka
: 7 sie 2023, o 03:34
autor: a4karo
Szukając rozwiązania postaci `(ax+b)^p` dostajemy `p=4/3`, `a=\pm 3/2`
Re: Odwrotność pierwiastka
: 7 sie 2023, o 06:32
autor: kerajs
Może tak:
\(\displaystyle{ y''= \frac{1}{ \sqrt{y} } \\
y'=u(y) \ \Rightarrow y''=u'u \\
u'u= \frac{1}{ \sqrt{y} } \\
\int_{}^{} udu= \int_{}^{} \frac{dy}{ \sqrt{y} } \\
\frac{1}{2}u^2=2 \sqrt{y}+K\\
u^2=4 \sqrt{y} +4C\\
y'= \pm \ 2 \sqrt{ \sqrt{y}+C } \\
\int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{ \sqrt{y}+C }} dy= \pm \int_{}^{} 2 dx
}\)
\(\displaystyle{
\frac{4}{3} (\sqrt{ \sqrt{y}+C} )^3-4C\sqrt{ \sqrt{y}+C }=\pm 2x+S
}\)
\(\displaystyle{
x= \pm \left[ \frac{2}{3} (\sqrt{ \sqrt{y}+C} )^3-2C\sqrt{ \sqrt{y}+C }- \frac{S}{2} \right]
}\)