[Funkcje] Wykazać, że funkcja ma co najmniej n miejsc zerowy

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Alik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 29 wrz 2005, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: War(saw)
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 2 razy

[Funkcje] Wykazać, że funkcja ma co najmniej n miejsc zerowy

Post autor: Alik » 23 paź 2007, o 17:50

Nie mam pomysłu na przeprowadzenie dowodu: Niech \(\displaystyle{ a_{0}<a_{1}<...<a_{n}}\). Wykazać, że funkcja \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} \frac{1}{x-a_{i}}}\) ma co najmniej n miejsc zerowych. Z góry wielkie dzięki za pomoc!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

[Funkcje] Wykazać, że funkcja ma co najmniej n miejsc zerowy

Post autor: Wasilewski » 16 wrz 2008, o 19:50

Rozważmy wielomian:
\(\displaystyle{ W(x) =\prod_{i=0}^{n} (x-a_{i})}\)
Logarytmując go, a potem różniczkując, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{W'(x)}{W(x)} = \sum_{i=0}^{n} \frac{1}{x- a_{i}}}\)
Jako, że wszystkie pierwiastki tego wielomianu są jednokrotne, to żaden z nich nie jest pierwiastkiem pochodnej, zatem dla ewentualnych pierwiastków mianownik jest niezerowy. Natomiast z twierdzenia Rolle'a wynika, że na każdym z przedziałów: \(\displaystyle{ (a_{0}, a_{1}), (a_{1}, a_{2}) \ldots, (a_{n-1}, a_{n})}\) istnieje taki punkt, że pochodna przyjmuje w nim wartość 0. Tych przedziałów jest n, zatem teza jest udowodniona.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[Funkcje] Wykazać, że funkcja ma co najmniej n miejsc zerowy

Post autor: Sylwek » 16 wrz 2008, o 20:11

Bardzo ładny dowód

Mój sposób: \(\displaystyle{ S}\) to ta suma, mamy więc: \(\displaystyle{ \lim_{x \to (a_i)_+} S=+\infty \\ \lim_{x \to (a_i)_-} S=-\infty}\), zatem z twierdzenia Darboux na każdym przedziale \(\displaystyle{ (a_i,a_{i+1})}\) jest pierwiastek (dla \(\displaystyle{ i=0,1,\ldots,n-1}\), zatem \(\displaystyle{ S}\) ma co najmniej n pierwiastków).

ODPOWIEDZ