Jakie f ?
: 3 sie 2023, o 17:27
Rozwiázać równanie funkcyjne (wyznaczyć \(\displaystyle{ f }\)): \(\displaystyle{ f(2f(x) + f(y)) = 2x + f(y)}\) dla \(\displaystyle{ x,y \in \RR.}\)
Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki
https://matematyka.pl/
Funkcji spełniających ten warunek jest tyle wszystkich funkcji rzeczywistychJakub Gurak pisze: ↑9 sie 2023, o 17:40 Łatwo jest sprawdzić, że identyczność: \(\displaystyle{ I_\RR:\RR \rightarrow \RR}\) spełnia warunki zadania.
Spróbuje uzasadnić, że nie ma innych funkcji spełniających warunki zadania:
Jeśli dla takiej funkcji, mamy: \(\displaystyle{ f(0)=0}\), to biorąc \(\displaystyle{ y=0}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f\left( 2f(x)\right) = 2x}\), i podejrzewam, że tylko identyczność to spełnia (może ktoś uzasadnić to lepiej , nie znam się na funkcjach na zbiorze liczb rzeczywistych).
To nie luki. To ogromne dziury. I to nie żadne dowody tylko gdybanie.
Jeśli \(\displaystyle{ f(0) \neq 0}\), to dla \(\displaystyle{ x=0}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f\left( 2f\left( 0\right)+ f(y) \right) =f(y)}\), skąd:
\(\displaystyle{ f(y)= f( f(y)+ \underbrace {a}_{ a:=2 \cdot f(0) \neq 0} ),}\)
i podejrzewam, że tylko identyczność może ten warunek spełniać, a nawet i ona nie, bo \(\displaystyle{ I_{\RR}(0)= 0 \neq f(0).\square}\)
Może ktoś uzasadnić to lepiej?? (Nie jestem specjalistą we funkcjach na zbiorze liczb rzeczywistych, wolę funkcję na zbiorze liczb naturalnych i całkowitych), może ktoś uzupełnić te dwie luki w dowodzie
prawdopodobnie z Functional Equations in Mathematical Competitions: Problems and Solutions by Mohammad Mahdi Taheri...czy wiadomo, skąd pochodzi ten problemat?