Matematyka.pl

Udowodnić, że licznik nieskracalnego ułamka \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{1}{ {p-1 \choose k}^2 } }\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ p}\) (liczba pierwsza).

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{1}{ {p-1 \choose k}^2 }= \sum_{k=0}^{p-1} {p-1 \choose k}^2 =\sum_{k=0}^{p-1}1 =p=0 \mod p}\)

więc dlaczego tak się dzieje bo:

\(\displaystyle{ {p-1\choose k} = \frac{(p-1)!}{(p-1-k)! \cdot k!}}\)

\(\displaystyle{ (p-1)!=-1}\)

\(\displaystyle{ (p-1-k)! \cdot k!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot k \cdot 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (p-1-k)=}\)

\(\displaystyle{ = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot k \cdot (k+1) \cdot (k+2) \cdot ... \cdot (p-1) \cdot (-1)^{p-1-k}=(-1) \cdot (-1)^{p-1-k} \mod p }\)

a podniesione do drugiej minusy zamieni na plusy, cnd...