Dasio11 pisze: ↑19 lip 2023, o 22:46
...natomiast w takiej
\(\displaystyle{ \forall x (x \in A) \vee x \in B}\)
związana jest tylko zmienna w nawiasie, a druga to formalnie inna zmienna (notabene wolna) pomimo identycznej nazwy.
Jakub Gurak pisze: ↑20 lip 2023, o 21:29
Ostatnie zdanie brzmi dziwnie, bo
formalnie ten sam znak, np.
\(\displaystyle{ x,}\) użyty w różnych miejscach danej formuły, ma to samo znaczenie, a powtarzające się iksy wyrażają ścisłe związki o których mówi dane twierdzenie.
W inkryminowanej formule zmienna
\(\displaystyle{ x}\) występuje trzy razy i za każdym razem jest to ta sama zmienna
\(\displaystyle{ x}\), formalnie ta sama i naprawdę ta sama. Tak samo jak w liczbie
\(\displaystyle{ 2023}\) cyfra
\(\displaystyle{ 2}\) występuje dwa razy i za każdym razem jest to ta sama cyfra.
Wracając do formuły kwantyfikator
\(\displaystyle{ \forall x}\) występujący w formule nie wiąże w tej formule po prostu zmiennej
\(\displaystyle{ x}\), lecz wiąże każde wystąpienie zmiennej
\(\displaystyle{ x}\) w tej formule, które pojawia się w zasięgu tegoż kwantyfikatora.
W pewnym sensie jest prawdą, że "
formalnie ten sam znak, np.
\(\displaystyle{ x,}\) użyty w różnych miejscach danej formuły, ma to samo znaczenie", mianowicie oznacza on tę samą zmienną
\(\displaystyle{ x}\). Warto jednak wskazać, że zmienna
\(\displaystyle{ x}\) sama w sobie nie ma określonej wartości (bo jak sama nazwa wskazuje, jest ona zmienną). W różnych procedurach możemy zmiennej nadawać konkretne wartości (z zakresu zmiennosci danej zmiennej). Np. możemy zastanawiać się, czy dla konkretnego
\(\displaystyle{ x=a}\) (tzn. w sytuacji, gdy przyjmujemy, że zmienna
\(\displaystyle{ x}\) ma konkretną wartość
\(\displaystyle{ a}\)) prawdziwa jest formuła
\(\displaystyle{ \varphi(x)}\):
\(\displaystyle{ \forall x (x \in A) \vee x \in B}\)
I tu odwołujemy się do interpretacji znaczenia formuł (w istocie do definicji prawdy Tarskiego).
Mianowicie formuła
\(\displaystyle{ \varphi(x)}\) jest prawdziwa dla
\(\displaystyle{ x=a}\), gd staje się zdaniem prawdziwym, gdy podstawimy w niej
\(\displaystyle{ a}\) za każde wolne wystąpienie zmiennej
\(\displaystyle{ x}\), tzn. gdy prawdziwe jest zdanie
\(\displaystyle{ \varphi(a)}\):
\(\displaystyle{ \forall x (x \in A) \vee a \in B}\)
Jak widać, w zdaniu
\(\displaystyle{ \varphi(a)}\) nadal występuje zmienna
\(\displaystyle{ x}\), nawet dwa razy, ale każde wystąpienie tej zmiennej jest już związane.