Matematyka.pl

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród trzech losowo wybranych osób z \(\displaystyle{ n }\) siedzących przy okrągłym stole jeden z nich siedzi w równej odległosci od pozostałych ?

Zadanie jest równoważne prawdopodobieństwu wylosowania spośród wierzchołka n-kąta foremnego takich trzech które utworzą trójkąt równoramienny.
Wynik zależy zarówno od parzystości liczby \(\displaystyle{ n}\), jak i jej podzielności przez 3.
a) Dla \(\displaystyle{ n=6k}\) szukane prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ \frac{n \cdot \frac{n-2}{2} - \frac{2}{3}n }{ {n \choose 3} } }\)
Odjemnik licznika to namiarowo zliczane trójkąty równoboczne.
b) Dla \(\displaystyle{ n=6k \pm 2}\) szukane prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ \frac{n \cdot \frac{n-2}{2} }{ {n \choose 3} } }\)
c) Dla \(\displaystyle{ n=6k+3}\) szukane prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ \frac{n \cdot \frac{n-1}{2} - \frac{2}{3}n }{ {n \choose 3} } }\)
Odjemnik licznika to namiarowo zliczane trójkąty równoboczne.
d) Dla \(\displaystyle{ n=6k \pm 1}\) szukane prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ \frac{n \cdot \frac{n-1}{2} }{ {n \choose 3} } }\)