Twierdzenie Łuzina
: 12 lip 2023, o 13:36
Niech zbiór \(\displaystyle{ E\subset \RR^{n}}\) będzie mierzalny w sensie Lebesgue'a i niech funkcja \(\displaystyle{ f:E \rightarrow \RR\cup\{-\infty,+\infty\}}\) będzie \(\displaystyle{ \lambda}\)-prawie wszędzie skończona w zbiorze \(\displaystyle{ E}\). Wówczas funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest \(\displaystyle{ \lambda}\) mierzalna w \(\displaystyle{ E \Leftrightarrow }\) dla każdej liczby \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) istnieje zbiór domknięty \(\displaystyle{ F \subset E}\) taki, że \(\displaystyle{ \lambda(E \setminus F)<\epsilon}\) i \(\displaystyle{ f|F}\) jest ciągła. (Łuzin)
W dowodzie dostateczności wskazuje się, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) istnieje zbiór domknięty \(\displaystyle{ F_{k} \subset E}\) taki, że funkcja \(\displaystyle{ f|F_{k}}\) jest ciągłą i \(\displaystyle{ \lambda(E \setminus F_{k})<\frac{1}{k}}\). Wprowadza się też \(\displaystyle{ E_{m}:= \bigcup_{k=1}^{m} F_{k}}\). W pewnym momencie pojawia się stwierdzenie, że z ciągłości \(\displaystyle{ f|F_{k}}\) wynika, że zbiory \(\displaystyle{ \{x\in F_{k}: f(x)\leqslant a\}}\), \(\displaystyle{ a\in \RR}\) są domknięte.
Tego nie rozumiem. Przeciwobraz zbioru domkniętego ma być domknięty. Ale domyślam się, że tu nie chodzi po prostu o przeciwobraz przedziału \(\displaystyle{ (-\infty;a]}\), a o przeciwobraz części wspólnej tego przedziału i zbioru \(\displaystyle{ f(F_{k})}\), a ten ostatni zbiór nie musi być domknięty i wobec tego cześć wspólna tego zbioru i przedziału nie musi być domknięta.
Dalej wprowadzony jest zbiór \(\displaystyle{ E_{0}:= \bigcup_{k=1}^{\infty}F_{k} }\), by pokazać, że \(\displaystyle{ f|E_{0}}\) jest \(\displaystyle{ \lambda}\)-mierzalna w \(\displaystyle{ E_{0}}\) i \(\displaystyle{ \lambda (E \setminus E_{0})=0}\). Po czym następuje niezrozumiałe dla mnie stwierdzenie, jakoby z równości \(\displaystyle{ \lambda(E \setminus E_{0})=0}\) i zupełności miary \(\displaystyle{ \lambda}\) wynika \(\displaystyle{ \lambda}\)-mierzalność \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ E}\).
Mam takie przypuszczenie: Zupełność miary oznacza, że każdy podzbiór zbioru \(\displaystyle{ E \setminus E_{0}}\) jest mierzalny i wobec tego dowolny podzbiór zbioru \(\displaystyle{ \{x\in E: f(x)<a\}}\), dla \(\displaystyle{ a\in R}\) albo będzie zawarty w \(\displaystyle{ (E \setminus E_{0})}\) albo w \(\displaystyle{ E_{0}}\) albo w jednym i w drugim.
W drugim przypadku podzbiór ten jest mierzalny, bo \(\displaystyle{ f|E_{0}}\) jest mierzalna, w pierwszym przypadku bo miara jest zupełna, a w trzecim, bo suma mierzalnych zbiorów jest mierzalna? Czy tak to należy rozumieć?
W dowodzie dostateczności wskazuje się, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) istnieje zbiór domknięty \(\displaystyle{ F_{k} \subset E}\) taki, że funkcja \(\displaystyle{ f|F_{k}}\) jest ciągłą i \(\displaystyle{ \lambda(E \setminus F_{k})<\frac{1}{k}}\). Wprowadza się też \(\displaystyle{ E_{m}:= \bigcup_{k=1}^{m} F_{k}}\). W pewnym momencie pojawia się stwierdzenie, że z ciągłości \(\displaystyle{ f|F_{k}}\) wynika, że zbiory \(\displaystyle{ \{x\in F_{k}: f(x)\leqslant a\}}\), \(\displaystyle{ a\in \RR}\) są domknięte.
Tego nie rozumiem. Przeciwobraz zbioru domkniętego ma być domknięty. Ale domyślam się, że tu nie chodzi po prostu o przeciwobraz przedziału \(\displaystyle{ (-\infty;a]}\), a o przeciwobraz części wspólnej tego przedziału i zbioru \(\displaystyle{ f(F_{k})}\), a ten ostatni zbiór nie musi być domknięty i wobec tego cześć wspólna tego zbioru i przedziału nie musi być domknięta.
Dalej wprowadzony jest zbiór \(\displaystyle{ E_{0}:= \bigcup_{k=1}^{\infty}F_{k} }\), by pokazać, że \(\displaystyle{ f|E_{0}}\) jest \(\displaystyle{ \lambda}\)-mierzalna w \(\displaystyle{ E_{0}}\) i \(\displaystyle{ \lambda (E \setminus E_{0})=0}\). Po czym następuje niezrozumiałe dla mnie stwierdzenie, jakoby z równości \(\displaystyle{ \lambda(E \setminus E_{0})=0}\) i zupełności miary \(\displaystyle{ \lambda}\) wynika \(\displaystyle{ \lambda}\)-mierzalność \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ E}\).
Mam takie przypuszczenie: Zupełność miary oznacza, że każdy podzbiór zbioru \(\displaystyle{ E \setminus E_{0}}\) jest mierzalny i wobec tego dowolny podzbiór zbioru \(\displaystyle{ \{x\in E: f(x)<a\}}\), dla \(\displaystyle{ a\in R}\) albo będzie zawarty w \(\displaystyle{ (E \setminus E_{0})}\) albo w \(\displaystyle{ E_{0}}\) albo w jednym i w drugim.
W drugim przypadku podzbiór ten jest mierzalny, bo \(\displaystyle{ f|E_{0}}\) jest mierzalna, w pierwszym przypadku bo miara jest zupełna, a w trzecim, bo suma mierzalnych zbiorów jest mierzalna? Czy tak to należy rozumieć?