[MIX] Mix matematyczny 46
: 4 lip 2023, o 15:57
1. Z poradnika majsterkowicza: Na płaszczyźnie owijamy walec papierem i rysujemy na nim cyrklem "okrąg". Po rozłożeniu papieru otrzymamy elipsę. Czy ta metoda jest poprawna ?
2. Udowodnić, że \(\displaystyle{ {n \choose p } \equiv \lfloor \frac{n}{p} \rfloor \ (mod \ p ) }\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą.
3. Na kartce w kratkę o wymiarach \(\displaystyle{ (n-1) \times (n-1)}\) jest \(\displaystyle{ n^2}\) punktów kratowych. Każdy z nich malujemy jednym z kolorów : czerwonym lub niebieskim. Ile jest takich pokolorowań, w których każdy kwadrat jednostkowy ma dwa wierzchołki czerwone i dwa niebieskie ?
4. Łódka może zabrać w rejs po jeziorze dokładnie 7 osób. Udowodnić, że można tak zaplanować rejsy 49-osobowej wycieczki, aby każdych dwóch uczestników płynęło ze sobą dokładnie raz.
5. Sfera wpisana w czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\) jest styczna do ściany \(\displaystyle{ ABC}\) w punkcie \(\displaystyle{ H}\), a sfera dopisana jest styczna do tej ściany w punkcie \(\displaystyle{ O}\). Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), to \(\displaystyle{ H}\) jest ortocentrum tego trójkąta.
6. Liczby naturalne \(\displaystyle{ A, B, C}\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a \(\displaystyle{ B, C, D}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometycznego, oraz \(\displaystyle{ \frac{C}{B} = \frac{5}{3} }\).
Wyznaczyć minimum sumy \(\displaystyle{ A+ B+C+D}\)
7. Jakie wartości ma wyrażenie \(\displaystyle{ x^2+y^2}\) jeśli
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y+4 \geq 0 \\ 2x+y-2 \geq 0 \\ 3x-y-4 \leq 0 \end{cases}}\)
?
8. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{xz}{x+z} = 6 \\ \frac{xy}{x+y} = \frac{3}{2} \\ \frac{yz}{y+z} = 6 \end{cases}}\)
9. Niech \(\displaystyle{ a, b >0}\). Zdefiniowane są ciągi \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\):
\(\displaystyle{ a_0=a \\ b_0=b \\ a_n = \frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2} \\ b_n = \frac{2a_{n-1}b_{n-1}}{a_{n-1}+ b_{n-1} }}\) dla \(\displaystyle{ n>0}\).
Udowodnić, że ciągi te są zbieżne i wyznaczyć ich granice.
10. Udowodnić, że w czworokącie o wymiernych bokach i przekątnych, te ostatnie dzielą się na odcinki o wymiernych długościach.
Twierdzenie Kummera
2. Udowodnić, że \(\displaystyle{ {n \choose p } \equiv \lfloor \frac{n}{p} \rfloor \ (mod \ p ) }\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą.
3. Na kartce w kratkę o wymiarach \(\displaystyle{ (n-1) \times (n-1)}\) jest \(\displaystyle{ n^2}\) punktów kratowych. Każdy z nich malujemy jednym z kolorów : czerwonym lub niebieskim. Ile jest takich pokolorowań, w których każdy kwadrat jednostkowy ma dwa wierzchołki czerwone i dwa niebieskie ?
4. Łódka może zabrać w rejs po jeziorze dokładnie 7 osób. Udowodnić, że można tak zaplanować rejsy 49-osobowej wycieczki, aby każdych dwóch uczestników płynęło ze sobą dokładnie raz.
5. Sfera wpisana w czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\) jest styczna do ściany \(\displaystyle{ ABC}\) w punkcie \(\displaystyle{ H}\), a sfera dopisana jest styczna do tej ściany w punkcie \(\displaystyle{ O}\). Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), to \(\displaystyle{ H}\) jest ortocentrum tego trójkąta.
6. Liczby naturalne \(\displaystyle{ A, B, C}\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a \(\displaystyle{ B, C, D}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometycznego, oraz \(\displaystyle{ \frac{C}{B} = \frac{5}{3} }\).
Wyznaczyć minimum sumy \(\displaystyle{ A+ B+C+D}\)
7. Jakie wartości ma wyrażenie \(\displaystyle{ x^2+y^2}\) jeśli
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y+4 \geq 0 \\ 2x+y-2 \geq 0 \\ 3x-y-4 \leq 0 \end{cases}}\)
?
8. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{xz}{x+z} = 6 \\ \frac{xy}{x+y} = \frac{3}{2} \\ \frac{yz}{y+z} = 6 \end{cases}}\)
9. Niech \(\displaystyle{ a, b >0}\). Zdefiniowane są ciągi \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\):
\(\displaystyle{ a_0=a \\ b_0=b \\ a_n = \frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2} \\ b_n = \frac{2a_{n-1}b_{n-1}}{a_{n-1}+ b_{n-1} }}\) dla \(\displaystyle{ n>0}\).
Udowodnić, że ciągi te są zbieżne i wyznaczyć ich granice.
10. Udowodnić, że w czworokącie o wymiernych bokach i przekątnych, te ostatnie dzielą się na odcinki o wymiernych długościach.
Twierdzenie Kummera