całka z logarytmem naturalnym
: 1 lip 2023, o 08:53
Wyznacz liczbe naturalna \(\displaystyle{ a > 1}\), która spełnia równosc \(\displaystyle{ \int_{a}^{a^2} \left(\frac{1}{\ln x} - \frac{2}{(\ln x)^3}\right) dx = \frac{a}{\ln a}. }\)
Z dwukrotnego całkowania przez części:
\(\displaystyle{ \int \limits_a^{a^2} \frac{1}{\ln x} \, \dd x = \left[ \frac{x}{\ln x} \right]_a^{a^2} + \int \limits_a^{a^2} \frac{1}{(\ln x)^2} \, \dd x = \left[ \frac{x}{\ln x} \right]_a^{a^2} + \left[ \frac{x}{(\ln x)^2} \right]_a^{a^2} + \int \limits_a^{a^2} \frac{2}{(\ln x)^3} \, \dd x}\)
czyli
\(\displaystyle{ \int \limits_a^{a^2} \left( \frac{1}{\ln x} - \frac{2}{(\ln x)^3} \right) \, \dd x = \left[ \frac{x}{\ln x} \right]_a^{a^2} + \left[ \frac{x}{(\ln x)^2} \right]_a^{a^2} = \frac{a^2}{\ln a^2} - \frac{a}{\ln a} + \frac{a^2}{(\ln a^2)^2} - \frac{a}{(\ln a)^2}}\).
A zatem początkowe równanie to równoważnie
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{2 \ln a} - \frac{2a}{\ln a} + \frac{a^2}{4 (\ln a)^2} - \frac{a}{(\ln a)^2} = 0 \\
\frac{a}{4 \ln a} \cdot (a-4) \left( 2 + \frac{1}{\ln a} \right) = 0}\)
i stąd rozwiązaniami są \(\displaystyle{ a = 4}\) i \(\displaystyle{ a = e^{-\frac{1}{2}}}\), z czego tylko pierwsze jest liczbą naturalną.