Matematyka.pl

Wzdłuż alei w parku biegnącej dookoła jeziorka (i będącej krzywą zamkniętą), ustawiono n ławek (n ≥ 6), a nad każdą z nich postawiono latarnię. Każda z latarń, niezależnie od pozostałych, może być zapalona lub zgaszona (pierwsza możliwość ma szansę 3/4, a druga 1/4) Zapalona latarnia oświetla ławkę nad którą się znajduje oraz dwie sąsiadujące z nią ławki. Obliczyć wariancję liczby nieoświetlonych ławek.

Dla \(\displaystyle{ i = 1, 2, \ldots, n}\) niech \(\displaystyle{ N_i}\) oznacza zmienną losową przyjmującą wartość jeden jeśli \(\displaystyle{ i}\)-ta ławka jest nieoświetlona i zero gdy jest oświetlona. Szukaną wariancją jest

\(\displaystyle{ \operatorname{\text{Var}} \sum_{i=1}^n N_i = \sum_{i=1}^n \operatorname{\text{Var}} N_i + 2 \sum_{i < j} \operatorname{\text{Cov}}(N_i, N_j)}\).

Wariancje wszystkich \(\displaystyle{ N_i}\) są identyczne i łatwo je wyznaczyć, bo każda \(\displaystyle{ N_i}\) zależy tylko od trzech latarni. Z kolei kowariancje \(\displaystyle{ \operatorname{\text{Cov}}(N_i, N_j)}\) zależą od odległości \(\displaystyle{ j-i}\) między ławkami: gdy jest większa od dwóch to kowariancja zupełnie znika, a gdy jest równa jeden lub dwa to też nietrudno ją obliczyć.