Matematyka.pl

Witam,
Mam prośbę.
Nie za bardzo wiem jak się zabrać za to zadanie:
Uprzejmie proszę o wskazówki.
Serdecznie pozdrawiam,
SWC

1. Z definicji wartości oczekiwanej

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X^2+1) = \mathbb{P}(X=1) \cdot (1^2+1) + \mathbb{P}(X=3) \cdot (3^2+1) = 2 \mathbb{P}(X=1) + 10 \mathbb{P}(X=3)}\).

Odpowiednie prawdopodobieństwa można odczytać z tabelki.

2. Znów z definicji - czy na przykład zachodzi równość

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X = 1, Y = 0) = \mathbb{P}(X = 1) \cdot \mathbb{P}(Y = 0)}\) ?

3. Dystrybuanta to funkcja dana wzorem \(\displaystyle{ F_X(a) = \mathbb{P}(X \le a)}\). Ostatnia wartość zależy tylko od tego, w którym z trzech przedziałów leży liczba \(\displaystyle{ a}\): \(\displaystyle{ (-\infty, 1)}\), \(\displaystyle{ [1, 3)}\), czy \(\displaystyle{ [3, \infty)}\). Zatem

\(\displaystyle{ \begin{align}
F_X(a) & = \begin{cases} \mathbb{P}(X \in \varnothing) & \text{gdy } a \in (-\infty, 1) \\ \mathbb{P}(X \in \{ 1 \}) & \text{gdy } a \in [1, 3) \\ \mathbb{P}(X \in \{ 1, 3 \}) & \text{gdy } a \in [3, \infty) \end{cases} \qquad = \qquad \begin{cases} 0 & \text{gdy } a \in (-\infty, 1) \\ \mathbb{P}(X \in \{ 1 \}) & \text{gdy } a \in [1, 3) \\ 1 & \text{gdy } a \in [3, \infty) \end{cases}
\end{align}}\)

i znów pozostaje wyznaczyć z tabelki \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X \in \{ 1 \})}\).

Zadanie

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline X \setminus Y & 0 & 1 \\ \hline
1 & \frac{1}{7} & \frac{3}{7} \\ \hline
3 & \frac{2}{7} & \frac{1}{7} \\ \hline
\end{tabular} }\)

Rozkłady brzegowe zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y. }\)

Rozkład X:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline x_{i} & 1 & 3 \\ \hline
p_{i} & \frac{4}{7} & \frac{3}{7} \\ \hline
\end{tabular} }\)

Rozkład Y:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline x_{i} & 0 & 1\\ \hline
p_{i} & \frac{3}{7} & \frac{4}{7} \\ \hline
\end{tabular} }\)

(a)
Z własności wartości oczekiwanej:

\(\displaystyle{ E(X^2 +1) = E(X^2) + E(1) = E(X^2) +1 = x^2_{1}\cdot p_{1} + x^2_{2}\cdot p_{2} + 1 }\)

\(\displaystyle{ E(X^2 +1) = 1^2\cdot \frac{4}{7} + 3^2 \cdot \frac{3}{7} +1 = \frac{38}{7}.}\)

(b)
Zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y }\) są zależne (nie są niezależne), bo istnieje para \(\displaystyle{ ( x_{i}, y_{j} ) }\), taka że

\(\displaystyle{ P(X =x_{i}, Y = y_{j}) \neq P( X= x_{i}) \cdot P(Y = y_{j}).}\)

Na przykład dla \(\displaystyle{ x_{1}= 1, y_{1} = 0, \ \ P(X=1, Y= 0) = \frac{1}{7} \neq P(X=1)\cdot P(Y=0) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{7} = \frac{12}{7}.}\)

(c)
Na podstawie rozkładu brzegowego zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\)

\(\displaystyle{ F_{X} (x) = \sum_{\{i: x_{i}< x\}} p_{i} }\)

\(\displaystyle{ F_{X}(x) = \begin{cases} 0 \ \ \text{gdy} \ \ x \leq 1 \\ \frac{4}{7} \ \ \text{gdy} \ \ 1 < x \leq 3 \\ 1 \ \ \text{gdy} \ \ x > 3 \end{cases}.}\)